Propongo questa soluzione.
Se il triangolo è rettangolo con cateti \( a,b\) e ipotenusa \( c\) abbiamo:
\(\frac{S}{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{ab}{2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}}<\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}<\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Ho usato il noto risultato \( x+\frac{1}{x}\geq 2\).
Per un triangolo generico sia \( c \) il lato opposto all'angolo maggiore, \(c_1,c_2 \) le proiezioni degli altri due lati e \( h\) l'altezza relativa e \( S_1,S_2\) le aree dei due triangoli rettangoli.
\(S=S_{1}+S_{2}\leq\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\left[\left(ahc_{1}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(bhc_{2}\right)^{\frac{2}{3}}\right]\leq\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\left[\left(abc_{1}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(abc_{2}\right)^{\frac{2}{3}}\right]=\frac{\left(ab\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{2}}\left[c_{1}^{\frac{2}{3}}+c_{2}^{\frac{2}{3}}\right] \).
Ho applicato le note disuguaglianze \( h<a,h<b\).
La funzione $\frac{\sqrt[2]{x}+1}{\sqrt[3]{x+1}}$ ha un massimo in \( x=1\) come è facile vedere, quindi:
$\sqrt[3]{x}+1\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{x+1}$
e anche:
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{x+y}$
pertanto:
$\sqrt[3]{c_{1}^{2}}+\sqrt[3]{c_{2}^{2}}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{\left(c_{1}+c_{2}\right)^{2}}=\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c^{2}}$
e quindi:
$S\leq\frac{\left(ab\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{2}}\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c^{2}}=\frac{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{4}}<\frac{\sqrt{3}}{4}\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}$
