85. Ritono alle funzionali

[Triarii]

Trova tutte soluzioni continue di $f(x+y)=g(x)+h(y)$

[Gottinger95]

Allora:
\( y \leftarrow 0: \ \ g(x) = f(x) - h(0) \)
\( x \leftarrow 0: \ \ h(y) = f(y) - g(0) \)
Sia \( l(x) = f(x) -h(0)-g(0)\); sostituendo, abbiamo
\( f(x+y) = l(x+y)+h(0)+g(0) = l(x) + g(0) + l(y) + h(0) = g(x)+h(y) \)
da cui
\( l(x+y) = l(x)+l(y)\)
Sotto l'ipotesi che \(l\) è continua, le uniche soluzioni della cauchy sono \(l(x) = \lambda x\). In sintesi
\(f(x) = \lambda x + \alpha + \beta \)
\(g(x) = \lambda x+\alpha \)
\( h(x) = \lambda x + \beta \)
Verifichiamo:
\( \lambda(x+y) + \alpha + \beta = \lambda x + \alpha + \lambda y + \beta \)
che vale per ogni \(\alpha, \beta, \lambda \in \mathbb{R} \).

[Triarii]

Perfetto Vai pure col prossimo.
Una curiosità: perchè quando poni una variabile uguale a qualcosa usi la freccia a sinistra? E' il modo formale per farlo?

[Gottinger95]

oddio in realtà con lo 0 non è che servisse, ma ormai è un automatismo; si fa per evitare scritture del tipo \(x=x-y\) o \(x = x^2\) (...), che non hanno molto senso.

[Triarii]

Ah, chiaro! Grazie del chiarimento

[Gottinger95]