170. Problema own

[scambret]

Trovare tutte le soluzioni $k,n$ intere positive di

$$n^2-2=2^k-n$$

[Triarii]

Riscriviamo come $(n-1)(n+2)=2^k$
Valgono le seguenti:
$\displaystyle \\ n-1=2^a$
$\displaystyle \\ n+2=2^b$
con $a<b$, $a+b=k$
Sottranedo membro a membro otteniamo $3=2^a(2^{b-a}-1)\Rightarrow a=0, b-a=2\Rightarrow b=2\Rightarrow k=2$, da cui otteniamo per sostituzione $n=2$
La soluzione è $(2,2)$

[scambret]

Yep vai

[jordan]

Non vale cambiare il testo

[Triarii]

Jordan se vuoi andare vai pure io non ho trovato ancora un problema da proporre :/

[scambret]

Il problema che avevo proposto io era assai più difficile, e non avrei voluto bloccare la staffetta

[jordan]

io non ho trovato ancora un problema da proporre :/

Oltre AoPS, Scimat, Stackexchange e molti altri, esistono raccolte infinite di problemi (e.g. PEN, o le raccolte di AmirHossein..)

[Triarii]

Grazie del consiglio, ma preferisco postare problemi che ho risolto o di cui ho la soluzione, così evito di fare figuracce Al momento non ne ho sottomano, e non mi pare che su raccolte tipo PEN et similia ci siano le soluzioni, quindi vai pure

[jordan]

C'è comunque spazio per provare

Dato un intero $a$, caratterizzare tutte le soluzioni $k,n$ intere positive di $n^2-a=2^k-n$.

Affinchè si abbia almeno una soluzione $(n,k)$ si deve avere $a$ pari (sufficiente modulo $2$). Si puo' vedere ora che l'equazione è equivalente a $(2n+1)^2=a+1+2^k$. I casi $k=1$ e $k=2$ devono essere verificati a mano (cioè vedere quando $a+3$ o $a+5$ è un quadrato). Se $k\ge 3$ abbiamo modulo $8$ che
$$1\equiv (2n+1)^2 \equiv a+1+2^k \equiv a+1\pmod 8 \implies 8\mid a.$$
Sia $A$ un intero tale che $a=8A$ allora abbiamo
$$A=\binom{n+1}{2}-2^{k-3}.$$
Che si puo' fare ora?

[jordan]

.... e non mi pare che su raccolte tipo PEN et similia ci siano le soluzioni..

Certo che ci sono, e indovina chi le sta riscrivendo a tempo perso

[Triarii]

Ops