Uno degli ultimi problemi dell'anno $2013$

[jordan]

Trovare tutte le terne di interi $(x,y,z)$ tali che $x^2+y^2+z^2=2013(xy+yz+zx)$.

(Tst Iran)

[Gottinger95]

Non so se è giusta, ma provo.
Dimostriamo che non ci sono soluzioni oltre a \(x=y=z=0\).
Supponiamo \( (x,y,z) = 1\). Se non fosse, potremmo semplificare il \(\gcd^2\) a destra e a sinistra riconducendoci a una soluzione più piccola diversa da 0. Riscriviamo come:
\( (x+y+z)^2 = 2015 ( xy+yz+zx) = 5 \cdot 13 \cdot 131( xy+yz+zx)\)
da cui desumiamo che \(2015 \mid x+y+z\). Ma allora \(2015 \mid xy+yz+zx\) perchè \(2015^2 \mid LHS\). Sostituendo \(z \equiv -(x+y) \pmod{2015}\) in \(xy+yz+zx \equiv 0 \pmod{2015}\) otteniamo
\( xy - x^2-xy -y^2-xy \equiv 0 \pmod{2015}\)
\( x^2+xy + y^2 \equiv 0 \pmod{2015} \)
da cui
\(\displaystyle x_{1,2} = -\frac{y}{2}( 1 \pm \sqrt{-3} ) \)
Ci sono due casi:
1. \(y \equiv 0 \pmod{2015}\), da cui \(x \equiv z \equiv 0 \pmod{2015}\). Questo contraddice \((x,y,z) = 1\):
2. \(y \not \equiv 0 \pmod{2015} \), da cui \(\left ( \frac{-3}{2015} \right ) = 1\). D'altronde, usando la moltiplicatività del simbolo di Iacobi e la reciprocità quadratica:
\(\displaystyle \left ( \frac{-3}{2015} \right ) = \left ( \frac{-3}{5} \right ) \left ( \frac{-3}{13} \right ) \left ( \frac{-3}{131} \right ) = \left ( \frac{5}{-3} \right ) \left ( \frac{13}{-3} \right ) \left ( \frac{131}{-3} \right ) = \left ( \frac{2}{-3} \right ) \left ( \frac{1}{-3} \right ) \left ( \frac{1}{-3} \right ) = -1\)
Perciò non c'è alcuna soluzione.

[jordan]

\(\displaystyle \left ( \frac{-3}{2015} \right ) = \left ( \frac{-3}{5} \right ) \left ( \frac{-3}{13} \right ) \left ( \frac{-3}{131} \right ) = \left ( \frac{5}{-3} \right ) \left ( \frac{13}{-3} \right ) \left ( \frac{131}{-3} \right ) = \left ( \frac{2}{-3} \right ) \left ( \frac{1}{-3} \right ) \left ( \frac{1}{-3} \right ) = -1\)

Con calma, quando usi i simboli di Jacobi: mostrare che $\left ( \frac{-3}{2015} \right )=-1$ è condizione sufficiente affichè il problema non abbia soluzione, non è necessaria. Ora, quest'ultimo è pari a
$$\left ( \frac{-1}{5} \right ) \left ( \frac{-1}{13} \right ) \left ( \frac{-1}{131} \right ) \left ( \frac{3}{2015} \right )=(-1)^{\frac{1}{2}(5-1+13-1+131-1)}\left ( \frac{3}{2015} \right )=\left ( \frac{3}{5} \right ) \left ( \frac{3}{13} \right ) \left ( \frac{3}{131} \right ).$$
Volendo utilizzare la reciprocità quadratica abbiamo:
$$\left ( \frac{-3}{2015} \right )=\left ( \frac{5}{3} \right ) \left ( \frac{13}{3} \right ) \left ( \frac{131}{3} \right )\cdot (-1)^{\frac{1}{4}[(3-1)(5-1)+(3-1)(13-1)+(3-1)(131-1)]}=\left ( \frac{5}{3} \right ) \left ( \frac{13}{3} \right ) \left ( \frac{131}{3} \right ).$$
Si conclude quindi che:
$$\left ( \frac{-3}{2015} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right ) \left ( \frac{1}{3} \right ) \left ( \frac{2}{3} \right )=1.$$
Come detto sopra, questo non mostra che $-3$ è residuo quadratico, ma è comunque non sufficiente a concludere..

Ps. Ma che cattivi sti Iraniani

[Gottinger95]

Ora, quest'ultimo è pari a
$$\left ( \frac{-1}{5} \right ) \left ( \frac{-1}{13} \right ) \left ( \frac{-1}{131} \right ) \left ( \frac{3}{2015} \right )=(-1)^{\frac{1}{2}(5-1+31-1+131-1)}\left ( \frac{3}{2015} \right )=-\left ( \frac{3}{5} \right ) \left ( \frac{3}{13} \right ) \left ( \frac{3}{131} \right ).$$

Ma \( (-1)^{\frac{1}{2}(5-1+31-1+131-1)} = (-1)^{82} = +1\), non \(-1\) !

[jordan]

Edit:

Ma \( (-1)^{\frac{1}{2}(5-1+31-1+131-1)} = (-1)^{82} = +1\), non \(-1\) !

C'era un typo, era $(-1)^{\frac{1}{2}(5-1+13-1+131-1)} = -1$

[Gottinger95]

Volendo utilizzare la reciprocità quadratica abbiamo:
$$\left ( \frac{-3}{2015} \right )=\left ( \frac{5}{3} \right ) \left ( \frac{13}{3} \right ) \left ( \frac{131}{3} \right )\cdot (-1)^{\frac{1}{4}[(3-1)(5-1)+(3-1)(13-1)+(3-1)(131-1)]}=\left ( \frac{5}{3} \right ) \left ( \frac{13}{3} \right ) \left ( \frac{131}{3} \right ).$$

Ma \( (-1)^{\frac{1}{4}[(3-1)(5-1)+(3-1)(13-1)+(3-1)(131-1)]} = (-1)^{73} = -1\) ! Perciò nel complesso
\( \displaystyle \left ( \frac{-3}{2015} \right )=- \left ( \frac{2}{3} \right ) \left ( \frac{1}{3} \right ) \left ( \frac{2}{3} \right )=-1\)

[jordan]

Daje, era giusto dall'inizio: non c'è mai stato un $31$.

Ps. Sono esattamente gli stessi calcoli, visto che $\frac{1}{2}(3-1)=1$, quindi che $(-3/2015)$ è indipendente dal valore di $(-1)^{\text{roba}}$

[Gottinger95]

Ok, sto problema è una fiera dei typo. Ho sbagliato anche io, perchè \( 2015 = 5 \cdot 13 \cdot 31\), non \(5 \cdot 13 \cdot 131\) (mi pareva strano che ce ne fossero due congrui a 2 mod 3 e che 2015 fosse congruo a 2 mod 3...). Perciò, doing again the calculation (in ottimo inglese, come sempre):

\(\displaystyle \left ( \frac{-3}{2015} \right ) = (-1)^{ [(5-1)+(13-1)+(31-1) ] / 2}\left ( \frac{3}{2015} \right ) = - \left ( \frac{3}{5} \right ) \left ( \frac{3}{13} \right ) \left ( \frac{3}{31} \right ) = \)

\( = \displaystyle - (-1)^{ [(5-1)+(13-1)+(31-1)]/2} \left ( \frac{5}{3} \right ) \left ( \frac{13}{3} \right ) \left ( \frac{31}{3} \right ) = \left ( \frac{2}{3} \right ) \left ( \frac{1}{3} \right ) \left ( \frac{1}{3} \right ) = -1 \)

[jordan]

Giusta, a quanto pare