Triangoli equiladrati e quadrati equitrilateri

[Gottinger95]

Own (che poi figurati se già non l'hanno detto)
1. Dimostrare che non esistono triangoli equilateri a coordinate intere.
2. Dedurne che non esistono quadrati con vertici in un reticolo triangolare (quello qui http://imageshack.us/photo/my-images/715/reticolo.jpg/).

[Drago96]

Colgo l'occasione per citare il mitico teorema di Pick

[Gottinger95]

Se l'hai risolto con Pick posta pure! Soprattutto il secondo punto, che io ho risolto con un'escamotage (appunto, deducendolo dal primo punto).

[Drago96]

Solo riguardo al primo punto, perché l'avevo già visto

[Gottinger95]

Si, comunque mi è venuto in mente come usarlo anche per il secondo punto:

Testo nascosto:

L'affinità \(\phi: (x,y) \ \ \rightarrow \ \ (x+\dfrac{1}{2} y, \dfrac{\sqrt{3} }{2} y ) \) manda il reticolo delle coordinate intere nel reticolo triangolare (provare \( (0,0), (0,1), (1,0)\) per credere). Il determinante di \(\phi\) è \(\sqrt{3}\), perciò l'area \(S\) di una superficie prima dell'affinità viene mandata in un'area di \(\dfrac{\sqrt{3} }{2}S \). Visto che le aree nel reticolo quadrato sono razionali per il teorema di Pick, le aree nel reticolo triangolare sono della forma \(\sqrt{3} q\) con \(q \in \mathbb{Q} \). D'altronde l'area di un quadrato nel reticolo triangolare è razionale: detti \( (x,\sqrt{3}y), \ \ (z,\sqrt{3} w) \) con \(x,y,z,w \in \mathbb{Q} \) due vertici del quadrato, la sua area è \( (x-z)^2+3(y-z)^2 \in \mathbb{Q} \).

In ogni caso aspetto una soluzione del punto 2 dedotta dal primo punto! (molto semplice e carina)

[Drago96]

Boh, il metodo più rapido per me sono i complessi...
Basta infatti una moltiplicazione

[Gottinger95]

Eh è quella la strada per l'altra soluzione, diciamo...

[fph]

Se l'hai risolto con Pick posta pure!

Ehm, con Pick è una riga in pratica... l'idea era farselo venire in mente.

(così per curiosità, non so neanch'io la risposta, ma con gli arnesi a vostra disposizione siete in grado ora di formulare un analogo del teorema di Pick per il reticolo triangolare? E per quello esagonale c'è anche qualcosa di simile?

[Drago96]

Uhm, per l'affinità citata da Gottinger *dovrebbe* essere $ S=\dfrac {\sqrt3} 2\left(I+\dfrac B 2-1\right) $
O mi perdo qualcosa?

[fph]

Sì, mi torna. Per l'esagonale invece temo non ci sia niente di simile, come notano anche qui: https://math.stackexchange.com/question ... r-hex-grid.

[karlosson_sul_tetto]

Personalmente non vedo il motivo per cui utilizzare le griglie esagonali... cioé, basta sovrapporla ad una griglia triangolare creando alcuni punti in più (i centri) e calcolare l'area con questi.

[Gottinger95]

Ehm, con Pick è una riga in pratica... l'idea era farselo venire in mente.

(così per curiosità, non so neanch'io la risposta, ma con gli arnesi a vostra disposizione siete in grado ora di formulare un analogo del teorema di Pick per il reticolo triangolare? E per quello esagonale c'è anche qualcosa di simile?

Ho scritto di impulso ahahah io non ci avevo pensato, e lo avevo risolto in Tdn, così è bellino proprio

[Draco76]

Presuppongo che sia possibile trovare tre vertici $A,B,C$ nel piano cartesiano a coordinate intere in modo che formino un triangolo equilatero. Siano $(x_A,y_A)$ le coordinate di $A$, $(x_B,y_B)$ le coordinate di $B$ e $(x_C,y_C)$ le coordinate di $C$ (potremmo definire le coordinate di uno dei punti $(0,0)$, ma cosi è troppo facile).
Se $l$ è il lato del triangolo equilatero, allora: $l^2=(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2$.
Dunque $(x_A-x_B)^2-(x_B-x_C)^2=(y_B-y_C)^2-(y_A-y_B)^2$ e $(x_A-x_C)(x_A-2x_B+x_C)=(y_A-y_C)(-y_A+2y_B-y_C)$ (e simmetriche). Questo prodotto non può essere mai uguale a $0$:
1) Se $x_A-x_C=0$, allora il segmento $AC$ è parallelo all'asse delle ordinate e quindi l'altezza è perpendicolare ad esso; $x_B=x_A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l=x_A+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot |y_A-y_C|\not\equiv 0 \mod 1$.
2) Se $x_A-2x_B+x_C=0$, allora $x_B$ è la media aritmetica di $x_A$ e $x_C$, cosi come la coordinata delle ascisse del punto medio di $AC$; quindi l'altezza relativa a $B$ è parallela all'asse delle ascisse e ci si riconduce al caso precedente.
Sia $p$ un primo che divide $x_B$. Noto che l'espressione si trasforma modulo $p$ in $x_A^2-x_C^2\equiv (y_A-y_C)(-y_A+2y_B-y_C)$. Questa assomiglia ad una Pell e si potrebbe usare la generica formula risolutiva, ma siccome il coefficiente di $x_C^2$ è un quadrato perfetto e il RHS non è 1, bisogna cercare una soluzione più intricata e meno intuitiva.

Dall'equazione $(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2$ si evince:
$(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2-(x_B-x_C)^2-(y_B-y_C)^2=\\
=(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2-(x_B-x_C)^2-(y_B-y_C)^2=0$
$(x_A-x_C)(x_A-2x_B+x_C)+(y_A-y_C)(-y_A+2y_B-y_C)=\\
=(x_A-x_B)(x_A-2x_C+x_B)+(y_A-y_B)(y_A-2y_C+y_B)=0$
$2(x_A-x_C)(x_A-2x_B+x_C)=2(x_A-x_B)(x_A-2x_C+x_B)=0$
Assurdo.

Per il secondo punto: una strada bella è notare che se un tale quadrato $ABCD$ esiste allora il suo lato $AB$ dev'essere la retta di Simson del triangolo formato da $A$ e altri due vertici vicini nel reticolo, con $D$ il punto da cui si proietta sui tre lati del triangolo. Questo fatto non è difficile da dimostrare, basta invertire in un punto particolare ed applicare le propietà del punto di Nagel. Poi ovviamente dimostrato il lemmino l'esercizio viene subito.

[maurizio43]

Vorrei indicarvi una soluzione 'diversa' per il punto 2 , ricavata con metodi "terra-terra"
(Anche se non discende strettamente dal punto 1)

In un quadrato ogni coppia di lati consecutivi deve avere lati uguali e perpendicolari.
Consideriamo un sistema cartesiano ortogonale $xy$ con asse $x$ diretto come le basi dei triangoli equilateri e origine $ O $ in un nodo del reticolo,
e consideriamo un generico quadrilatero $OBCD$.
Caso a) : < Le sue coppie di lati opposti sono parallele agli assi > : E' ovvio che due lati consecutivi non possono essere uguali, perchè :
i lati orizzontali hanno misura espressa da un numero intero, mentre i lati verticali sono proporzionali a $ \dfrac{\sqrt 3}{2} $
Caso b) : < Lati non paralleli agli assi > :
Il vertice $ B $ avrà coordinate pari a $ k $ e $ 2h\dfrac{\sqrt 3}{2} $ ; il vertice $D$ avrà coordinate pari a $ -p $ e $ 2q\dfrac{\sqrt 3}{2} $ , con k,h,p,q interi positivi .
Chiamati $\beta$ l' angolo che $OB$ forma con l'asse $x$ e $\delta$ l'angolo che $OD$ forma con l' asse $y$ , possiamo scrivere :
$\tan{\beta} = \dfrac{1}{k} 2h \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{h}{k} \sqrt 3 $
$\tan{\delta} = \dfrac{1}{p} 2q \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{q}{p} \sqrt 3 $
Perchè $OB$ e $OD$ siano perpendicolari deve essere di $ 90° $ l' angolo $ (180° -\beta - \delta ) $ ; cioè : $\beta +\delta = 90°$
Quindi : $ \tan{ \beta} \tan{\delta} = 1 $ ; ovvero :
(1) $ \dfrac{3h}{k}= \dfrac{p}{q} $
Risulta $ \overline{OB}^2 = k^2 +(2h \dfrac {\sqrt 3}{2})^2 $ , nonchè $\overline{OD}^2 = p^2 +(2q \dfrac {\sqrt 3}{2})^2 $ ; cioè, utilizzando la (1) :
(2) $ \overline{OB}^2= 3h^2+k^2 $ , nonchè : (3) $ \overline{OD}^2= 3q^2+p^2 $
Imponendo infine che i lati consecutivi del quadrilatero fossero uguali , risulterebbe allora : $ k^2 = 3 q^2 $
Ovvero $ k= q \sqrt 3 $ . Relazione che non può essere valida fra 2 numeri interi . Giusto ?
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P.S.: Mi rendo conto che io trovo generalmente (quando le trovo) strade che piacciono poco ai più , perchè di stile <demodé>, e piuttosto 'pallose' (con conseguenti
critiche o 'gelidi silenzi' ), ma giacchè le scrivo, tanto vale postarle ; e ...scusate il disturbo !

[Gottinger95]

Bene Maurizio, i passaggi principali mi sembrano giusti! Anche perchè è proprio quella la contraddizione a cui si arriva usando il metodo di Drago96
Io invece volevo proporvi il "se e solo se" tra i due punti.

Rappresentiamo i nodi del reticolo triangolare con gli interi di Eisenstein \( \mathbb{Z}[\omega]\), della forma \(a + \omega b\) ( \(\omega\) è la radice cubica dell'unità). Un vertice del quadrato lo piazziamo al centro. Siano \(x,z\) i due vertici consecutivi al centro. Se \(x,z \in \mathbb{Z}[\omega]\), allora \(x+z \in \mathbb{Z}[\omega]\) (il quarto vertice del quadrato). E' perciò necessario e sufficiente che valga, per qualche \(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) :\[ xi = z \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ (a+\omega b ) i = (c+ \omega d) \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ (bi-d) \omega = (c-ai) \] Ma questo è assurdo, perchè allora il centro del piano cartesiano e i punti \(bi-d\), \(c-ai\) formerebbero un triangolo equilatero nel reticolo quadrato degli interi di Gauss.