$y^2+z^2=(3-x^2)(x^2-2)$ (e sì, esistono i razionali)

[darkcrystal]

Come qualcuno avrebbe potuto già sospettare, il problema è risolvere $y^2+z^2=(3-x^2)(x^2-2)$ nei razionali.

Buon lavoro!

[maurizio43]

In un piano cartesiano $ x y z $ , mi sembra che le soluzioni possano essere individuate come :
per ogni $ x $ compreso negli intervalli $ -\sqrt 3 < x < - \sqrt 2 $ e $ \sqrt 2 < x < \sqrt 3 $
ci sono infinite soluzioni $ y , z $ , rappresentate dai punti delle circonferenze di raggio $ | x | $ tracciate nei piani paralleli al piano $ yz $, di ascissa x .

[jordan]

Nei razionali..

Nb. Che esistono infinite soluzioni $(x,y,z)$ nei reali è ovvio, ma una cosa è dire "ce ne sono infinite", altra cosa è parametrizzarle tutte; ora, qui il problema chiede: quali di queste soluzioni $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ hanno tutte e tre le coordinate razionali?

[maurizio43]

Hai ragione , cavolo !
Mi ero perso nel contemplare i solidi di rotazione la cui superficie ospita i punti soluzione dell' equazione ,
e mi sono letteralmente dimenticato di ricercare le soluzioni razionali .

[maurizio43]

Siete sicuri che esista una soluzione con x, y, z tutti e 3 razionali ?

[jordan]

Mi pare che nessuno ha affermato che una tale soluzione esiste

[maurizio43]

Mi pare che nessuno ha affermato che una tale soluzione esiste

Mi dai sollievo : da bravo "beccaccione" mi ero lasciato fuorviare dal titolo (che pensavo desse per scontato l'esistenza di 3 soluzioni razionali).
La superficie del solido di rotazione rappresentato dai punti soluzione dell' equazione ha campo di valità nell'intervallo di $x$ compreso tra $ \sqrt 2 $ e $ \sqrt 3 $,
(oltre che nell' intervallo simmetrico negativo) . Il raggio si azzera nei due estremi , il suo massimo (per $x=\sqrt 2,5$) è pari a $0,5$ , cioè $ R^2=0,25$ .
E da questi dati riesco a trovare razionale una soluzione $x$ , ma non $R^2$ , oppure $R^2$ , ma non $x$ .

[alexmonte]

Ridurremo l’equazione nei razionali a un’equazione negli interi, quindi mostreremo che il lato destro della nuova equazione non può essere scritta come somma di 2 quadrati in quanto uno dei fattori è sempre congruente a 3 (mod 4)

Cercare una soluzione razionale all’equazione è equivalente a cercare una soluzione intera all’equazione omogenea

\begin{equation}y^2 w^4+z^2 w^4=q^2 r^2 (3w^2- x^2 )(x^2-2w^2)\end{equation}

Che si ottiene da
\begin{equation} y\Rightarrow \frac{y}{q}\:,\:z\Rightarrow \frac{z}{r}\:,\:x\Rightarrow \frac{x}{w} \end{equation}
moltiplicando successivamente ambo i membri per \begin{equation} w^4 r^2 q^2\end{equation}
con le condizioni aggiuntive che gcd(z,r)= 1,gcd(y,q)= 1, gcd(x,w) = 1

Il lato destro rimane una somma di quadrati; il fatto rilevante è:(Fermat) Un numero N può essere somma di due quadrati quando è della forma
\begin{equation} n^2\prod_{p_i} p_i\end{equation}
dove ogni fattore primo è distinto e congruente a 1(mod 4).

Prendiamo i 2 fattori a destra che dipendono da x e w, e analizziamo i 3 casi, tenendo conto che un quadrato è congruente a 0,1 (mod 4):
\begin{equation}x^2=0(mod4)\: e \:w^2=1(mod4)\:implicano\end{equation}
\begin{equation}(3w^2- x^2 )=3(mod4)\: e \:(x^2-2w^2)=2(mod4)\end{equation}
\begin{equation}x^2=1(mod4)\: e \:w^2=0(mod4) \:implicano \end{equation}
\begin{equation}(3w^2- x^2 )=-1(mod4)=3(mod4)\: e \:(x^2-2w^2)=1(mod4)\end{equation}
\begin{equation}x^2=1(mod4)\: e \:w^2=1(mod4) \:implicano \end{equation}
\begin{equation}(3w^2- x^2 )=3(mod4)\: e \: (x^2-2w^2)=1(mod4)\end{equation}
Il caso
\begin{equation}x^2=0(mod4) \: e \: w^2=0(mod4)\end{equation}
Non è possibile in quanto implicherebbe gcd(x,w) = 1

Quindi, nel membro di destra è sempre presente un fattore congruente a 3 (mod 4), e quindi non può essere prodotto scritto secondo la \begin{equation} n^2\prod_{p_i} p_i\end{equation} dove ogni fattore primo è distinto e congruente a 1(mod 4).

Si può concludere che il membro di destra non può essere scritto come somma di 2 quadrati, e l'equazione non ha soluzioni razionali.

[darkcrystal]

Ok, ottimo! Ovviamente

Il caso
\begin{equation}x^2=0(mod4) \: e \: w^2=0(mod4)\end{equation}
Non è possibile in quanto implicherebbe gcd(x,w) = 1

dovrebbe essere $gcd(x,w)>1$, ma mi sembra che la tua soluzione funzioni