E' vecchia di 2 anni, ma sempre bella

[Drago96]

Determinare tutte le terne $(x,y,z)$ di interi positivi tali che $x\le y\le z$ e $$x^3(y^3+z^3)=2012(xyz+2)$$

[aetwaf]

L'unica soluzione è
$(2,251,252)$

$x^3(y+z)(y^2-yz+z^2)=2012(xyz+2)$
$max{gcd(x^3,xyz+2)=2}$
Quindi
$x=1$ o
$gcd(x,2012)\ne 1$
Ma allora
$x=2x_1$
Se no avremmo $x\ge 503$
Ma allora srebbe $LHS>RHS$
Quindi
$x_1^3(y+z)(y^2-yz+z^2)=503(x_1yz+1)$
Chiaramente $gcd(x_1,503)=1$
Quindi $gcd(y^3+z^3,503)=503$
Inoltre $gcd(x_1,x_1yz+1)=1$
Quindi $x_1=1$
$(y+z)(y^2-yz+z^2)=503(yz+1)$
Ora, $y^2-yz+z^2>yz+1$ per $y-z>1$
Quindi, se fosse $y+z=503k$ avremmo $z=y$ o $z=y+1$
Se non fosse così sarebbe $LHS>RHS$
Nel primo caso abbiamo
$2z^3=503(z^2+1)$ che non ha soluzioni
Nel secondo deve essere $y+z=503$
Quindi $y=251,z=252$

Se no abbiamo $503\mid y^2-yz+z^2$
E $y+z\mid yz+1$
Da cui
$y+z\mid (y-1)(z-1)=yz+1-(y+z)$
Assurdo tranne nel caso $y=1$
Se no dovremmo avere $z\mid y-1$ con $y-1>0$ e $z>y-1$ assurdo

Quindi
$z^3+1=503z+1$ assurdo

Da cui l'unica soluzione
$(2,251,252)$