$a^2=b^c-3$
$a^2=b^c-3$
Si trovino tutte le terne $(a,b,c)$, con $a,b,c \in \mathbb{N}$, per cui $a^2=b^c-3$ e $4 \nmid c-1$.
[math]
Re: $a^2=b^c-3$
1° caso $ c=2n $
$ (b^n+a)(b^n-a)=3 $
$ \left\{\begin{matrix}b^n+a=3\\ b^n-a=1 \end{matrix}\right. $
che porta alla soluzione $ (1,2,2) $
2° caso $ c $ dispari,
allora $ c=4k+3 $ dall'ipotesi
$ b $ pari porta a un assurdo modulo 8 .
Quindi $ b $ è dispari e $ a $ è pari.
Poniamo $ a=2x $
Riscrivo l'equazione come
$ a^2+4=b^c+1 $
$ 4(x^2+1)=b^{4k+3}+1 $
$ 4(x^2+1)=(b+1)(b^{4k+2}-b^{4k+1}+...+b^2-b+1)=(b+1)Q $
$ Q $ è dispari quindi $ b\equiv 3 \ (mod \ 4) $
Questo implica anche $ Q\equiv 3 \ (mod \ 4) $ , quindi esiste almeno un primo $ p $ tale che
$ p|Q \wedge p\equiv 3 \ (mod \ 4) $
Ma allora deve valere $ x^2+1\equiv 0 \ (mod \ p) $ che è impossibile per i primi che sono 3 modulo 4.
Quindi l'unica terna che è soluzione è $ (1,2,2) $
$ (b^n+a)(b^n-a)=3 $
$ \left\{\begin{matrix}b^n+a=3\\ b^n-a=1 \end{matrix}\right. $
che porta alla soluzione $ (1,2,2) $
2° caso $ c $ dispari,
allora $ c=4k+3 $ dall'ipotesi
$ b $ pari porta a un assurdo modulo 8 .
Quindi $ b $ è dispari e $ a $ è pari.
Poniamo $ a=2x $
Riscrivo l'equazione come
$ a^2+4=b^c+1 $
$ 4(x^2+1)=b^{4k+3}+1 $
$ 4(x^2+1)=(b+1)(b^{4k+2}-b^{4k+1}+...+b^2-b+1)=(b+1)Q $
$ Q $ è dispari quindi $ b\equiv 3 \ (mod \ 4) $
Questo implica anche $ Q\equiv 3 \ (mod \ 4) $ , quindi esiste almeno un primo $ p $ tale che
$ p|Q \wedge p\equiv 3 \ (mod \ 4) $
Ma allora deve valere $ x^2+1\equiv 0 \ (mod \ p) $ che è impossibile per i primi che sono 3 modulo 4.
Quindi l'unica terna che è soluzione è $ (1,2,2) $