max $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$

[jordan]

Questo esercizio è uno spettacolo!

Sia $x$ un intero positivo minore di $10^6$ tale che $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$ è massimo. Quant'è $x$?

[lucaboss98]

Questo esercizio è uno spettacolo!

Sia $x$ un intero positivo minore di $10^6$ tale che $\binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x}$ è massimo. Quant'è $x$?

$ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x-x-1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6 - 2x -1)}{(x+1)!(10^6-x)!} $

[Gottinger95]

Sono io rimbambito o al minimo comunque multiplo viene \( 10^6-2x-1\) e non \(10^6+1\) ?

[spugna]

$ \binom{10^6}{x+1}-\binom{10^6}{x} = \dfrac{10^6!}{(x+1)!(10^6-x-1)!} - \dfrac{10^6!}{x!(10^6-x)!} = \dfrac{10^6! \cdot (10^6-x+x+1)}{(x+1)!(10^6-x)!} = \dfrac{(10^6+1)!}{(x+1)!(10^6-x)!} $

Credo ci sia un errore di segno nel penultimo passaggio...

[lucaboss98]

Sono io rimbambito o al minimo comunque multiplo viene \( 10^6-2x-1\) e non \(10^6+1\) ?

hai ragione! che idiozia, ho considerato come se fosse un $ + $ e non un $ –  $ sistemo.

[spugna]

Vabbè, mi pare che l'hint funzioni lo stesso...

Testo nascosto:

Quanto fa $\dfrac{f(x+1)}{f(x)}$ ?

[Gottinger95]

Si, viene, e pure carino!

[jordan]

...e oltre la soluzione contosa di guardare il rapporto? Si riesce a rispondere così, a parole?

[karlosson_sul_tetto]

A parole l'unica che mi viene in mente è quella della firma di spugna.

[Gottinger95]

Comunque la soluzione contosa è una disequazione di secondo grado... c'è un modo più intuitivo?

[<enigma>]

Non penso ci sia una strada rigorosa più veloce senza guardare il rapporto. Poiché $\binom{A}{x+1}/\binom{A}{x}=(A-x)/(x+1)$, per $A$ grande il binomiale centrale è titanicamente più grosso di tutti gli altri!

[jordan]

Mmh si ma qualcuno potrebbe postare intanto una soluzione completa? [@enigma: non quel rapporto..]

La strada "non rigorosa" resta comunque piu' sfiziosa secondo me

[gpzes]

Salve, ci provo… con tutta l’umiltà di questo mondo in cui non si finisce mai di imparare !!
I° fatto:
Dato coefficiente binomiale, come in triangolo di Pascal, il valore più alto lo trovo nel seguente modo:
$\max \left( \begin{matrix}
a \\
b \\
\end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad pari \\
& \left( \begin{matrix}
a \\
\frac{a-1}{2} \\
\end{matrix} \right)\quad a\quad dispari \\
\end{align} \\
{} \\
\end{matrix} \right.$
II° fatto:
Tenuto conto della simmetria del triangolo Pascal, posto ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$ , posso limitare la mia attenzione a $0\le k\le \frac{n}{2}$ oppure $0\le k\le \frac{n-1}{2}$, a seconda dei casi.
Scriviamo ${{b}_{k}}=\left( \begin{matrix}
n \\
k+1 \\
\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]$.Uso parentesi quadre per distinguere dalle tonde del binomiale.
Se il fattore $\left[ \frac{n+1}{k+1}-2 \right]\ge 1$ , per certi k, allora ${{b}_{k}}\ge \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right)$. Tali valori sarebbero $0\le k\le \frac{n-2}{3}$ .
Quindi $\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ {{b}_{k}} \right\}\ge \underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}$ . Poiché $\frac{n-2}{3}<\frac{n}{2}\quad e/o\frac{n-1}{2}$, avrei che
\[\underset{0\le k\le \frac{n-2}{3}}{\mathop \max }\,\left\{ \left( \begin{matrix}
n \\
k \\
\end{matrix} \right) \right\}=\left( \begin{matrix}
n \\
\frac{n-2}{3} \\
\end{matrix} \right)\]
, dato che i coefficienti sono crescenti nel triangolo di Pascal fino ai k visti nel I° fatto.
Per i k non considerati varrebbero le disuguaglianze opposte che, però, non interesserebbero per il problema.
Concluderei ,dicendo che il valore cercato di k sarebbe $k=\left\lfloor \frac{n-2}{3} \right\rfloor$ (parte intera!!).

mmmm...qualcosa non va..ma sembra strada giusta

[<enigma>]

Anche...

Testo nascosto:

\[\frac{\binom{A}{x+1}-\binom{A}{x}}{\binom{A}{x}-\binom{A}{x-1}}=\frac{(A-2x-1)(A-x+1)}{(A-2x+1)(x+1)}, \]
e vedendo quando è $\geq 1$ ritrovo il risultato!

[jordan]

@enigma: si questa è la strada meccanica che porta al risultato (qual è?)

@gpzes: chi ti dice che per raggiungere il massimo dei $b_k$ devi necessariamente avere che il secondo fattore è maggiore di $1$? Cioè, potrebbe anche essere che quel secondo fattore è "un po'" piu' piccolo di $1$, ma il primo fattore $\binom{n}{k}$ è cosi "grande" da compensare la differenza..?