Bisettrici se e solo se messicane

[karlosson_sul_tetto]

Warning: questa è un affermazione "dimostrata" tramite geogebra ispirata dal 6-2012 della gara nazionale del messico.

Sia ABC un triangolo, $ \Gamma $ il circocerchio di centro O, H l'ortocentro e M il punto medio di BC. Sia J l'intersezioni di HM con $\Gamma$ e siano D,E,F le intersezioni di AH, BH, CH con $\Gamma$ rispettivamente. Dimostrare che la bisettrice di JED passa per O se e solo se la bisettrice di JFD passa per E.

[tnemelgnatne]

O sono io scemo che non capisco dove sbaglio o è troppo facile...

Se la bisettrice di $ J\hat{E}D $ passa per il centro, il triangolo JED è isoscele e quindi $ D\hat{J}E=J\hat{D}E $
Ora traccio FE
$ J \hat{D} E=J \hat{F} E $ e $ D \hat{J}E=D\hat{F}E $ per le proprietà degli angoli alla circonferenza
Quindi $ J \hat{F} E=D\hat{F}E $ e FE è bisettrice di $ J\hat{F}D $

Se la bisettrice di $ J\hat{F}D $ passa per E ho le stesse relazioni tra gli angoli, quindi JED è isoscele e la bisettrice di $ L\hat{E}D $ passa per il centro

[Nemo]

In effetti, per qualsiasi quadrilatero $ABCD$ inscritto in una circonferenza di centro $O$ vale che "la bisettrice di $A \hat DC$ passa per $O$ se e solo se la bisettrice di $A \hat BC$ passa per $D$".

Se può interessare, questo è il testo del problema messicano (spero di aver tradotto correttamente ).
Considera un triangolo acutangolo $ABC$ inscritto nella circonferenza $\Gamma$. Sia $H$ l’ortocentro del triangolo $ABC$ e $M$ il punto medio di $BC$. Le rette $AH$, $BH$ e $CH$ intersecano $\Gamma$ (per la seconda volta) in $D$, $E$ e $F$, rispettivamente; la retta $MH$ interseca $\Gamma$ in $J$ in modo che $H$ sia tra $M$ e $J$. Siano $K$ e $L$ gli incentri dei triangoli $DEJ$ e $DFJ$, rispettivamente. Dimostra che $KL$ è parallelo a $BC$.

[karlosson_sul_tetto]

Si, avete completamente ragione dovevo provare a dimostrarlo prima di postarlo, non mi ero accorto che fosse cosi facile.

Si, il testo messicano è quello.