" Specchi Ustori" Cesantico 2014 - Semifinale a squadre

[Julito]

Salve,
ho da proporvi questo problema che è risultato indigesto a molti, riesco a dimostrare qualcosa ma non riesco a completarlo.
Grazie anticipate a chi volesse dare una mano al nostro gruppo di studio.
" Il grande Archimede ha fatto costruire attorno alla città di Siracusa due grossi specchi circolari concentrici per i suoi esperimenti.
Archimede lancia un raggio di luce a partire dal porto, che si trova sullo specchio più esterno, in modo che colpisca lo specchio
interno per la prima volta in un punto fissato, corrispondente alla posizione del tempio di Mathena (il porto e il tempio non sono
allineati con il centro degli specchi). Il raggio si divide in tanti raggi diversi, perché lo specchio più interno è semiriflettente: cioè,
quando viene colpito da un raggio di luce quest’ultimo si divide in due raggi, uno che viene riflesso e uno che attraversa lo specchio
senza mutare direzione. Al loro 2014°contatto con uno specchio (contando come primo contatto quello in corrispondenza del
tempio), i raggi svaniscono. Archimede nota che esistono due punti A e B tali che ogni possibile percorso dei raggi termina in
uno di essi, e inoltre che il percorso più lungo possibile misura il doppio di quello più corto. Quanto vale il rapporto tra i raggi
dei due specchi? Si risponda indicando la somma del numeratore e del denominatore della frazione ridotta ai minimi termini."
Risposta 3019
Grazie a tutti e buona estate

[karlosson_sul_tetto]

Mi scuso per la soluzione rozza scritta in modo ancor più rozzo, ma non ho molto tempo, per cui scriverò da "gara a squadre"(=in cui non è giustificato ogni singolo passaggio) e senza tanti disegni quanti ne servirebbero, ma spero di dare almeno un'idea generale.

Chiamo $R$ e $r$ i due raggi, esterno e interno rispettivamente.
Divido il percorso del raggio in segmenti, che chiamo "esterni" e "interni": esterno uno che va dalla circonferenza interna a quella esterna o viceversa, mentre quello interno quello che va da un punto sulla circonferenza interna su un altro di quella interna. Per uguaglianza di angoli (dovuti al "rimbalzo")/per simmetria, tutti i segmenti esterni sono uguali tra di loro cosi come tutti i segmenti interni. Chiamo $x$ la lunghezza di un segmento esterno e $y$ quella di uno interno.
Noto che se "il cerchio grande è molto più grosso di quello piccolo" allora il percorso più lungo è quello che non entra mai nella circonferenza interna, ovvero quello che
contiene solo segmenti esterni, mentre quello più corto è quello che entra nella circonferenza interna e poi rimane là dentro. Se invece "il cerchio esterno è poco più grande di quello piccolo", allora il contrario: quello più corto è quello formato da segmenti esterni, mentre quello più lungo è quello che entra nella circonferenza interna e vi rimane.
Poiché siamo nella gara a squadre, esamino il primo caso sperando che il secondo sia abbastanza analogo.
Il percorso più lungo sarà formato da 2014 segmenti esterni e sarà lungo $2014 x$, mentre quello più corto da uno esterno (per arrivare alla circonferenza piccola) e poi 2013 dentro. Quindi $2014x=2\cdot(x+2013y)\rightarrow 1006x=2013y\rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1006}{2013}$.

Ora, noto che i due punti $A$ e $B$ dove convergono i raggi al 2014° passaggio si trovano sulla circonferenza esterna e su quella interna: seguendo il percorso lungo, che tocca alternativamente la circonferenza interna e quella esterna, noto che i tocchi dispari sono su quella interna, mentre quelli pari su quella esterna; 2014 è pari quindi questo raggio finirà nella circonferenza esterna, dove dev'esserci uno dei due punti di convergenza; seguendo invece il percorso corto, ovvero quello che entra nella circonferenza interna e vi rimane, per definizione al 2014° tocco finirà sulla circonferenza interna, quindi il secondo punto di convergenza appartiene alla circonferenza piccola.
Seguo il percorso corto fino a quando il raggio non fa il 2011° tocco nel punto C. Prosegue fino ad incontrare di nuovo l'interna in D, poi si divide: una parte continua a rimbalzare in E e finisce nel 2014° in F, l'altra prosegue e rimbalza al 2013° sull'esterna in G, per poi finire sull'interna in $F_1$ nel 2014° tocco. Ma i due raggi devono concorrere nello stesso punto per quanto detto prima, quindi $F=F_1$ e il percorso è quello mostrato nel disegno.

Ora un pò di osservazioni geometriche. $CD=DE=EF=y$, $OC=OD=OE=OF=r$, $DG=GF=x$, $OG=R$ poiché per simmetria $O,E,G$ devono essere allineati. I triangoli $COD, DOE, EOF$ sono uguali, cosi come i triangoli $GDO$ e $GFO$.Sia $\angle DCO=\angle CDO=\angle EDO=\angle DEO=\alpha$. $\angle DOE=180-2\alpha=\angle GDE$, $\angle GDO=180-\alpha=\angle DEG$, segue che i triangoli $DEG$ e $DGO$ sono simili. Quindi $\frac{DE}{DO}=\frac{DG}{OG}\rightarrow \frac{y}{r}=\frac{x}{R}\rightarrow \frac{r}{R}=\frac{y}{x}=\frac{1006}{2013}$ per quanto detto prima, che porta alla soluzione 2013+1006=3019.

[Julito]

Grazie mille, eravamo arrivati al rapporto x/y, ma il resto ci sfuggiva. Il nostro gruppo e i nostri alunni ringraziano.
Grazie

[Julito]

Questo grafico dovrebbe essere più completo, naturalmente per completezza di spiegazione andrebbe dopo evidenziata un parte per spiegare il calcolo del rapporto dei raggi delle due circonferenze.
Il percorso di lunghezza massima sarà P0->T1->A2->B3->A4.....
Il percorso di lunghezza minima sarà P0->T1->B2->B3->B4.....
e si evince che ad ogni tocco n-1 con gli specchi, sia esso An-1 oppure Bn-1, il successivo tocco sarà An oppure Bn.
Se qualcuno può mi dia conferma della correttezza del grafico, e soprattutto della possibile comprensione di un ragazzo che frequenta un liceo.
Grazie.