Somme di potenze

[Gottinger95]

Siano \(n,k \in \mathbb{N}\) e sia \(p\) un primo tale che \( (k,p-1) = 1\). Infine sia \(m = \frac{(p-1)}{\gcd(n,p-1)}\).
Scegliamo \( m\) numeri \(x_1, \ldots, x_m\) non divisibili per \(p\) tali che \( x_i^n \neq x_j^n\) per ogni \(1 \le i < j \le m\). Dimostrare che
\[ x_1^n + \ldots + x_m^n \equiv x_1^{kn}+ \ldots + x_m^{kn} \pmod{p} \]

Edit: Grazie Troileto, ho corretto.

[Troleito br00tal]

Non ti serve anche l'ipotesi che $p$ non divida nessuno degli $x_i$?

$p=7, n=2, k=5, m=3, x_1=7, x_2=2, x_3=1$ rispettano le ipotesi ma non soddisfano la tesi (invece il problema funziona se non posso prendere $x_1$ multiplo di $7$).