La macchina dei triangoli

[Loara]

Gino ha comprato un macchinario che, ogni volta che viene acceso, genera una terna NON ordinata di numeri reali positivi $ (x, y, z) $.Trovare una funzione che associa a ciascuna terna un triangolo non degenere in modo tale che a terne uguali corrispondono triangoli congruenti, e a terne diverse corrispondono triangoli non congruenti.

[karlosson_sul_tetto]

Domanda: una funzione che associa il triangolo con i tre lati uguali a x,y,z rispettivamente, è sbagliata innanzitutto perché crea triangoli degeneri e anche inesistenti, ma anche perché se considero due terne (x,y,z) e (y,x,z) queste generano due triangoli congruenti mentre non dovrebbero, giusto?

[Loara]

Si infatti, però nota: le terne sono ordinate, per esempio: $ x\leq y\leq z $

[karlosson_sul_tetto]

Scusa, continuo a non capire: la macchina può generare (1,2,3)? (2,1,3)? (3,1,2)? Oppure li genera con la condizione $ x\leq y \leq z $? Se vanno bene quelle tre, allora i tre triangoli corrispondenti sono tutti diversi, giusto?

[Loara]

Con terne ordinate si intende che le terne $ (x, y, z), (y, x, z), (x, z, y), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x) $ sono equivalenti, e quindi i triangoli ad esse associate sono congruenti. Quindi essendo il problema simmetrico si può porre nella soluzione $ x\leq y\leq z $.

[karlosson_sul_tetto]

Ok ho capito, grazie

[Triarii]

Provo, probabilmente sbagliando... E' in spoiler perchè di geometria ha poco la mia soluzione

Testo nascosto:

Voglio associare ad ogni terna un triangolo equilatero di lato $\lambda \in \mathbb R$. E' evidente che 2 triangoli equilateri sono congruenti se e solo se è uguale la lunghezza del lato. Pertanto se riesco a dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca fra $\mathbb R ^3$ e $\mathbb R$ ho vinto.
Come costruiamo questa biiezione?
Siano
$ x=A_iA_{i-1}...,a_1a_2...
y=B_jB_{j-1}...,b_1b_2...
z=C_kC_{k-1}...,c_1c_2...$
gli sviluppi decimali di $x,y,z$.
Costruiamo ora $\lambda$ nel seguente modo:
$\lambda =A_iB_iC_iA_{i-1}B_{i-1}C_{i-1}...,a_1b_1c_1a_2b_2c_2a_3b_3c_3...$

dove eventualmente nella parte a sinistra della virgola i $B_i,C_i$ possono essere nulli. $A_i\neq 0$ perchè abbiamo supposto $x$ massimo e quindi è sicuramente la prima cifra non nulla.
Mostriamo ora che a terne diverse corrispondono lambda diversi: infatti $f(x_1,y_1,z_1)= \lambda _1=f(x_2,y_2,z_2)=\lambda _2 \Leftrightarrow$ tutte le cifre dello sviluppo decimale sono uguali. Ma ciò avviene solo se la terna è la stessa, ossia $x_1=x_2$ e così via per le altre coppie.
Se non vado errando ed il mio ragionamento è corretto, forse si potrebbe mostrare che ad ogni terna, contando anche l'ordine, posso associare un triangolo diverso. (anche se a sto punto dovrei evitare il casino sulla prima cifra della parte intera, che io ho supposto della massima)

[fph]

Con terne ordinate si intende che le terne $ (x, y, z), (y, x, z), (x, z, y), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x) $ sono equivalenti, e quindi i triangoli ad esse associate sono congruenti. Quindi essendo il problema simmetrico si può porre nella soluzione $ x\leq y\leq z $.

Uhm, no, di solito si intende il contrario, cioè, una terna si chiama ordinata quando l'ordine conta e quindi (1,2,3) è diverso da (3,1,2), e non ordinata quando l'ordine non conta e quindi {1,2,3}={3,1,2}. Di solito nel primo caso si usano le parentesi tonde, e nel secondo le graffe. Vedi per esempio https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair, https://en.wikipedia.org/wiki/Unordered_pair (per due elementi, ma è la stessa cosa).

Hai ragione che forse il nome genera un po' di confusione, visto che non ha a che vedere con il concetto di "ordinare" nel senso di "mettere in ordine crescente". Anzi, come fai notare tu, delle due quella che puoi supporre in ordine crescente è proprio la terna non ordinata. Però lo standard che si usa in matematica è questo.

[Loara]

Ho sbagliato a scrivere. Ora ho corretto.

[Loara]

La risposta di Triarii è corretta. Ora espando il problema: la funzione che bisogna trovare, oltre a possedere le caratteristiche che ho mostrato precedentemente, deve essere anche suriettiva, ovvero ad ogni triangolo non degenere sul piano è sempre possibile associare una terna non ordinata di numeri reali positivi $ (x, y, z) $.

[Drago96]

Dovrebbe andar bene anche la banale funzione che a $(x, y, z) $ associa il triangolo di lati $ x+y, y+z, z+x $...
Infatti, dato un triangolo con lati $a, b, c$ posso ricavare la terna di partenza, che sarà $\displaystyle\frac {a+b-c} 2,\frac {a+c-b} 2,\frac{b+c-a} 2 $