Prendi 3 paghi 1

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Sia $ABCD$ un quadrilatero inscritto in una circonferenza $\omega$ di centro $O$.
Siano $P=AB \cap CD$, $Q=AD \cap BC$, $R=AC \cap BD$.
Siano $P'=OP \cap QR$, $Q'=OQ \cap RP$, $R'=OR \cap PQ$.

(1) Dimostrare che ciscuno dei quattro punti $O$, $P$, $Q$, $R$ è ortocentro del triangolo formato dagli altri tre.
(2) Dimostrare che $P'$, $Q'$, $R'$ sono i tre punti di Miquel (ovvero i centri di rotomotetia) del quadrilatero $ABCD$.
(2) Formulazione equivalente: dimostrare le seguenti ciclicità: $ABOP'$, $CDOP'$, $ADOQ'$, $BCOQ'$, $ACOR'$, $BDOR'$.
(3) Dimostrare che $\omega$ è perpendicolare alle circonferenze di diametri $PQ$, $QR$, $RP$.

Nota: potete dare per buono il lemma della polare.

[Mountains Drew]

Ecco qua

Testo nascosto:

Vogliamo dimostrare per prima cosa che $pol_{\omega}(P) = QR$ e cicliche . Lo dimostreremo solo per $P$ ma vale lo stesso anche per Q ed R (infatti non importa se P sia interno od esterno alla circonferenza...la dimostrazione vale infatti anche per 4 punti non ordinati su una circonferenza).

(scriverò $pol(X)$ riferendomi sempre a $\omega$ senza scriverlo ogni volta)
Dunque, definiamo i punti $K,J$ come
$K= pol(AB)$
$J=pol(CD)$
Siccome $P\in AB=pol(K)$ e $P\in CD= pol(J)$ per il teorema di La Hire:
$K \in pol(P)$ e $J \in pol(P)$
Essendo $K$ e $J$ distinti, allora $pol(P) = KJ$.

Vogliamo quindi dimostrare che $K, J, Q, R$ allineati.
Per il Teorema di Pascal applicato ai punti $A, A, C, B, B, D$ i punti $K, R, Q$ sono allineati.
similmente applicandolo ai punti $C, C, A, D, D, B$ si ha che i punti $J, R, Q$ sono allineati.
Quindi come volevasi dimostrare $pol(P) = QR$ e cicliche.

(Ho pagato uno ed adesso prendo 3....)

1) Quello dimostrato implica che $OP \perp QR$ e cicliche per definizione di polare.
Quindi i quattro punti $P,Q,R,O$ formano un sistema ortocentrico poichè presi due punti, la retta per essi è sempre perpendicolare alla retta per gli altri due.

2) Come sono definiti i Punti di Miguel? Centri di rotomotetia di cosa?
(però tanto dici che è equivalente al fatto 3 ...quindi faccio il 3)

3) Se $QR=pol(P)$, allora $P'$ è l'inverso rispetto ad $\omega$ di $P$. (e cicliche con $R, R' e Q, Q'$).
I punti $A,D,P$ sono allineati. Invertendo rispetto ad $\omega$ $A$ e $D$ sono fissi, mentre $P$ va in $P'$ e la retta per $ADP$ va in una circonferenza per $A,D,P',O$, da cui segue la ciclicà di questi punti.
Allo stesso modo seguono le altre ciclicità dagli allineamenti di $CDP, ADQ, BCQ, ACR, BDR$.

4)Siccome l'inversione mantiene gli angoli invariati, tali circonferenze sono "perpendicolari" ad $\omega$ se sono fisse rispetto ad inversione.
Chiamiamo $\Gamma$ la circonferenza con diametro $PQ$. Dal punto 1) sappiamo che $\widehat{PP'Q}=\widehat{PQ'Q}=\frac{\pi}{2}$, quindi $P,P',Q,Q'$ sono conciclici in $\Gamma$.
Con l'inversione rispetto ad $\omega$ sappiamo che $\Gamma$, in quanto passante per $P,P', Q, Q'$ andrà in una circonferenza passante per gli inversi di quei punti, cioè $P', P, Q', Q$ che è $\Gamma$. (Sovrabbondanza di ipotesi.... avevamo oltre questi 4 punti anche i due fissi che stanno su $\omega$).
Idem per le altre due circonferenze.

FINE

PS:
C'era una soluzione più "armonica" in cui si usa direttamente il lemma della polare, oppure intendevi il Teorema di La Hire? ($A \in pol(B) \Leftrightarrow B \in pol(A)$)

[Mountains Drew]

2) ora ho capito (grazie al lemma della rotomotetia e il punto 3) ): centri di rotomotetia dei lati e della diagonali (AB con CD, BC con AD e BD con AC).

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Scusa il ritardo nel rispondere, avavo accesso a internet limitato...
Giuste tutte e tre.
Con punti di Miquel intendevo quello di concorrenza delle circonferenze citate al punto 3 (http://mathworld.wolfram.com/MiquelsTheorem.html la versione della figura più in basso delle due). Io ho trovato quel nome per il centro di rotomotetia sul 'Geometry in Figures' di Arsenij Akopyan (lemma 2.33)
Con 'lemma della polare' intendevo i fatti più basilari riguardo le polari.
Scusa la mancanza di chiarezza nel testo del problema