Poliedro con facce uguali/diverse

[karlosson_sul_tetto]

Problema carino per i meno vecchi, da un kangourou di qualche anno fa e forse anche cesenatico di tanti anni fa:

Esiste un poliedro che NON ha due facce che hanno lo stesso numero di spigoli, ovvero, ciascuna faccia è un n-agono ed è possibile che comunque scelte due facce sono un "n-agono" e un "m-agono" con n diverso da m?

[matpro98]

Gli spigoli di una stessa faccia devono essere complanari?

[karlosson_sul_tetto]

Si, era sottinteso nella definizione di poliedro, tuttavia la tesi funzionerebbe anche se non fossero complanari

[Mountains Drew]

La tesi non è comunque vera con queste bizzarre ipotesi...
Se le facce non sono poligoni, e quindi i vertici di una faccia possono anche non essere complanari (e quindi non si parla più di poliedri, ma di roba strana) , direi che si può fare una figura di questo tipo.
Prendi i vertici di un cubo e le facce che fai sono:
- una fatta "unendo" tre facce del cubo di cui due opposte (8 vertici e 8 spigoli)
- un'altra "unendo" due facce adiacenti del Cubo (6 vertici e 6 spigoli
-una, la restante faccia del cubo. (4 vertici e 4 spigoli)

[karlosson_sul_tetto]

Ok, diciamo che nella definizione di poliedro usata da me due facce si incontrano solo e soltanto in uno spigolo, senza questa condizione la tua soluzione funziona...

Quindi, giusto per render chiare le ipotesi usate: il poliedro è un insieme di poligoni piani nello spazio detti facce in modo che due poligoni abbiamo in comune al massimo uno spigolo (quindi non possono intersecarsi internamente) e che ogni spigolo appartiene ad esattamente due facce; in ogni vertice confluiscono 3 o più facce (e quindi 3 o più spigoli) e, prendendo un vertice e gli spigoli e facce a cui appartiene, facendo il percorso spigolo-faccia-spigolo-faccia-[...] (con la regola che da uno spigolo bisogna andare ad una faccia a cui appartiene e da una faccia ad uno spigolo che contiene), si passino tutti gli spigoli e tutte le facce; inoltre il poliedro dev'essere isomorfo ad una sfera, ovvero non deve avere buchi.

La condizione di non complanarità degli spigoli l'ho pensata con l'idea di "prendo un poliedro *come definito sopra* e muovo un vertice nello spazio lasciando inalterate le proprietà topografologiche del solido, quindi se c'è un poliedro *ben definito* che ha tutte facce con numero di spigoli diversi, allora ce ne sarà uno con spigoli non complanari", ma forse non è detto che da ogni poliedro ben definito posso passare a uno con spigoli non complanari.

Detto ciò, se qualcuno trova altri solidi amorali che riescono ad evitare le condizioni di sopra come noti uomini certe leggi, se ne possa anche andare affan
Detto anche: risolvete il problema con solidi decenti senza filosofare troppo

[ma_go]

[...] inoltre il poliedro dev'essere isomorfo ad una sfera, ovvero non deve avere buchi.

questo nelle ipotesi originali del problema non c'è. il poliedro non è necessariamente convesso (né "isomorfo" in qualche senso a uno convesso).

[karlosson_sul_tetto]

Si, hai perfettamente ragione avevo scritto quel mostro principalmente per la mia personale definizione di "poliedro buono"

Volendo si possono togliere anche altre condizioni, tipo più facce che confluiscono in uno spigolo(= nel senso che prendo un poliedro e lo deformo in modo che due spigoli non appartenenti alla stessa faccia coincidano) e anche la non intrecciabilità delle facce (tipo in questo le facce si intrecciano ma l'asserzione vale lo stesso).

[Delfad0r]

Consideriamo un poliedro con $n$ facce. Ogni faccia $F$ è adiacente almeno ad altre $3$ facce, e al più ad altre $n - 1$, e il numero di facce adiacenti a $F$ è esattamente uguale al numero di lati di $F$. Dunque ogni faccia può avere $3,4, \ldots, n - 1$ lati, per un totale di $n - 3$ possibilità; ma le facce sono $n$, dunque, per il principio dei cassetti, almeno due facce hanno lo stesso numero di lati.