Somme consecutive che non sono potenze di 2

[karlosson_sul_tetto]

(Ungheria 49 (wut))

Dimostrare che un numero n positivo è esprimibile come somma di alcuni numeri consecutivi positivi (alcuni indica >1, se no sarebbe banale) se e solo se n non è una potenza di due.

[Delfad0r]

Vogliamo $ n=a+(a+1)+\ldots+(a+k) $. Notiamo che $ a+(a+1)+\ldots+(a+k) = \frac{(2a+k)(k+1)}{2} $, dunque deve valere $ (2a+k)(k+1)= 2n $.
(a) Se $ n=2^m $, allora non si può. Basta notare che $ (2a+k) $ e $ (k+1) $ hanno parità diversa.
(b) Se $ n=d \cdot 2^m $, con $d$ dispari diverso da $1$, allora si può. Distinguiamo due sotto-casi.
(b.1) Se $ d > 2^{m+1} $ scegliamo $ k=2^{m+1}-1 $ e $ a=\frac{d-2^{m+1}+1}{2} $ (va tutto bene perchè $ d-2^{m+1}+1 $ è pari e positivo); abbiamo dunque che $ (2a+k)(k+1)=(d-2^{m+1}+1+2^{m+1}-1)(2^{m+1}-1+1)=d\cdot 2^{m+1}=2n $.
(b.2) Se $ d < 2^{m+1} $ scegliamo $ k = d - 1 $ e $ a = \frac{2^{m+1}-d+1}{2} $ (va tutto bene perchè $ 2^{m+1}-d+1 $ è pari e positivo); abbiamo dunque che $ (2a+k)(k+1)=(2^{m+1}-d+1+d-1)(d-1+1)=2^{m+1}\cdot d=2n $.

[jordan]

Se $n$ ha un divisore (wlog primo) dispari $p$ allora
$$n=\left(\frac{n}{p}-\frac{p-1}{2}\right)+\cdots +\left(\frac{n}{p}+\frac{p-1}{2}\right).$$
Se $n$ è una potenza di $2$ allora l'equazione $\sum_{i=1}^a i-\sum_{j=1}^b j=n$ (per qualche interi $a,b \ge 0$ tale che $a-b \ge 2$) è equivalente a $(2a+1)^2-(2b+1)^2=8n$, che è ancora una potenza di $2$. Ma il membro di sinistra ha almeno un fattore primo dispari, visto che si puo' riscrivere come $(a-b)(a+b+1)=2n$ e i due fattori non sono entrambi pari. [Altrimenti si conclude con LTE, come uccidere una mosca a cannonate ]