Sommando a tre a tre

[LucaMac]

a) Esistono $4$ distinti interi positivi tali che la somma di tre qualsiasi di questi sia primo?
b) Esistono $5$ distinti interi positivi tali che la somma di tre qualsiasi di questi sia primo?

[Lasker]

Per il punto a) dovrebbe bastare notare che $(1,3,7,9)$ funziona, passiamo quindi al vero problema (il punto b) dell'esercizio).

Siano $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ i nostri numeri, e siano $p_1<p_2<...<p_{10}$ i primi originati dalle somme a tre a tre. Ora, visto che gli $a_i$ sono tutti interi positivi distinti, si ha (per ogni $1\leq k\leq 10$)
$$p_k\geq p_1=a_1+a_2+a_3>1+1+1=3$$
Quindi tutti i $p_k$ sono maggiori di $3$, e sono dunque, in particolare, coprimi con $3$. Ma allora non può esistere una terna di $a_i$ che danno lo stesso resto se divisi per $3$, in quanto la loro somma (uno dei $p_k$) sarebbe divisibile per $3$, assurdo. Ne segue che al massimo possono esserci due $a_i$ con la stessa congruenza modulo $3$, e visto che $\lceil\frac{5}{2}\rceil=3$, devono comparire (fra gli $a_i$) tutti i possibili resti modulo $3$. Tra gli $a_i$ ci saranno dunque $b_0\equiv 0 \pmod 3$, $b_1\equiv 1 \pmod 3$ e $b_2\equiv 2 \pmod 3$, ma allora $p_j=b_0+b_1+b_2\equiv 0+1+2\equiv 0 \pmod 3$, di nuovo assurdo, non esistono quindi $5$ numeri che rispettino le condizioni del problema.