data una circonferenza gamma di centro $ O $ ,sia $ P $ un punto esterno ad essa. Dal punto $ P $ si conducano le due tangenti a gamma . Siano $ A $ e $ B $ i punti di tangenza e $ H $ e $ K $ i punti di intersezione della retta $ PO $ con gamma. Detto $ C $ il punto di intersezione della corda $ AB $ con diametro $ HK $ , dimostrare che $ PH:PK = CH:CK $
La tesi è equivalente a dimostrare che $ BK $ è la bisettrice dell'angolo esterno del triangolo $ PBC $ ,ma non mi viene proprio in mente come mostrarlo...
bisettrici interne ed esterne
Re: bisettrici interne ed esterne
$PB$ è tangente, quindi prova a vedere se $\angle KBA$ e quello "fuori" hanno qualcosa di bello tra loro
Re: bisettrici interne ed esterne
Mi è venuto in un modo abbastanza lungo ,che non credo sia quello inteso da te .
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La corda $ AB $ è perpendicolare al diametro $ HK $ ; inoltre si ha $ CA=CB $.
Segue che i triangoli $ AKC $ e $ BKC $ , che hanno $ CK $ in comune ,sono uguali
(correggimi se sbaglio , ma forse questa cosa non va neanche dimostrata , in quanto dovrebbe essere nota ... dico bene ?)
Si ha $ \angle{ABK} = \angle{BAK} $ .
$ \angle{BAK} $ sottende l'arco $ BK $ , ma anche l'angolo "fuori" , tra $ BK $ e la retta $ PB $ , sottende l'arco $ BK $.
Pertanto sono uguali , ma , poichè $ \angle{ABK} = \angle{BAK} $ , si ha proprio ciò che volevamo , ovvero che $ BK $ è bisettrice esterna del triangolo $ PBC $.
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La tua strada qual era?
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Poi il problema si conclude notando che $ \angle{CBH} = \angle{HBP} $ perchè sottendono , in ordine , le corde $ HA $ e $ HB $ che sono uguali!.
Usiamo il teorema della bisettrice esterna al triangolo $ PBC $ e quello della bisettrice interna ($ BH $ è bisettrice) , e concludiamo il problema combinando le 2 proporzioni.
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La corda $ AB $ è perpendicolare al diametro $ HK $ ; inoltre si ha $ CA=CB $.
Segue che i triangoli $ AKC $ e $ BKC $ , che hanno $ CK $ in comune ,sono uguali
(correggimi se sbaglio , ma forse questa cosa non va neanche dimostrata , in quanto dovrebbe essere nota ... dico bene ?)
Si ha $ \angle{ABK} = \angle{BAK} $ .
$ \angle{BAK} $ sottende l'arco $ BK $ , ma anche l'angolo "fuori" , tra $ BK $ e la retta $ PB $ , sottende l'arco $ BK $.
Pertanto sono uguali , ma , poichè $ \angle{ABK} = \angle{BAK} $ , si ha proprio ciò che volevamo , ovvero che $ BK $ è bisettrice esterna del triangolo $ PBC $.
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La tua strada qual era?
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Poi il problema si conclude notando che $ \angle{CBH} = \angle{HBP} $ perchè sottendono , in ordine , le corde $ HA $ e $ HB $ che sono uguali!.
Usiamo il teorema della bisettrice esterna al triangolo $ PBC $ e quello della bisettrice interna ($ BH $ è bisettrice) , e concludiamo il problema combinando le 2 proporzioni.
Re: bisettrici interne ed esterne
La mia strada era proprio quella, ma non mi sembra sia lunga 
Re: bisettrici interne ed esterne
E questa cosa , va dimostrata? O è noto?nic.h.97 ha scritto:La corda AB è perpendicolare al diametro HK ; inoltre si ha CA=CB.
Segue che i triangoli AKC e BKC , che hanno CK in comune ,sono uguali
(correggimi se sbaglio , ma forse questa cosa non va neanche dimostrata , in quanto dovrebbe essere nota ... dico bene ?)
Re: bisettrici interne ed esterne
Guarda, probabilmente non ti sarà utile, ma la settimana scorsa in una verifica di matematica ho dovuto dimostrare proprio quello, perciò a scuola non è noto 
Anyway, io due parole le spenderei.
Anyway, io due parole le spenderei.
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: bisettrici interne ed esterne
Sì, è tutto noto... e comunque sono angolini che si spostano tra centro e ciconferenza...
Per una dimostrazione da "medium", che è proprio uccidere la mosca con bombe atomiche, consideriamo il birapporto $(HK;PC)$ e proiettiamo da qualche parte, o in alternativa diciamo che è invariante per inversione...
Per una dimostrazione da "medium", che è proprio uccidere la mosca con bombe atomiche, consideriamo il birapporto $(HK;PC)$ e proiettiamo da qualche parte, o in alternativa diciamo che è invariante per inversione...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)