Una questione di tangenze

[LorMath97]

Sia $ ABCD $ un quadrato ed $ M $ il punto medio di $ AD $.
Un cerchio di raggio $ 100 $ è tangente ad $ AB,AM,MC $ ed un cerchio di raggio $ R $ è tangente a $ AB,BC,MC $
Determinare la parte intera di $ R $

Risultato: $ [123] $
Grazie

[DamianoY]

Ti do due suggerimenti:
Prova a prolungare $ CM $ dalla parte di $ M $ fino a che non incontra il prolungamento di $ AB $ e poi sfrutta il fatto che in un triangolo vale $ S=pr $ ($ S= $area $ p= $semiperimetro $ r $=raggio circonferenza inscritta)... Penso che a questo punto tu possa completarlo da solo

(Ti servirà sapere quanto è $ \sqrt {5} $ ma se non sbaglio c' è nella prima pagina dei testi delle gare a squadre!)

[LorMath97]

Ponendo $ AM=a $ sono riuscito dopo un po di similitudini a scrivere $ R=\frac{4a^2}{3a+a\sqrt5} $
Ora dovrei cercare di trovare $ a $ a partire da $ 100 $

[DamianoY]

Esatto, adesso considera il triangolo circoscritto alla circonferenza di raggio $ 100 $ con i lati che giacciono sulle rette di $ AB $ e $ CM $ e usa nuovamente la relazione di prima... Poi concentrati su $ AB $ e il cateto maggiore del triangolo sopracitato (sfrutta il diametro del cerchio)... Dovresti riuscire a trovare il lato del quadrato! Penso di averti detto tutto a questo punto.

[LorMath97]

Ok
Abbi pazienza con me perchè sono stupido...
Ma non riesco a trovare i lati del triangolo circoscritto alla circonferenza di raggio $ 100 $ in funzione di $ a $
Ora verifico di aver fatto tutto bene

[DamianoY]

Allora chiamo $ N $ l'intersezione tra i prolungamenti di $ CM $ e $ AB $, poi mando la tangente alla circonferenze di raggio $ 100 $ perpendicolare ad $ AB $ e parallela ad $ AM $ che interseca $ AB $ in $ L $ e $ CM $ in $ P $.
Adesso $ NA=2a $ (perchè è congruente a $ DC $ lato del quadrato), se chiami $ l $ la lunghezza di $ LP $ puoi verificare per similitudini che $ NL=2l $ e $ NP=\sqrt {5}l $ dalla relazione di prima quindi ricavi $ l=\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}100 $ ma sai che $ NA+AL=NL $ ovvero $ 2a+200=2\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}100 $ quindi puoi sostituire $ 2a $ nella formula che hai trovato tu prima è con qualche passaggio algebrico ottieni $ R=200-100(3-\sqrt {5}) $ e la sua parte intera è proprio $ 123 $

[DamianoY]

Se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure

[LorMath97]

Grazie infinite

Ti ringrazio anche per non avermi insultato

[DamianoY]

Ti ringrazio anche per non avermi insultato

Ahahaha Ci mancherebbe, mi diverto anche io a risolvere i problemi! Non ho scritto subito la soluzione per aiutarti a farlo "da solo"... E poi di solito la maggior parte dei problemi di geometria che sono postati qui sono per me improponibili, meno male se ne leggono alcuni facili a volte OT(prima o poi mi metterò a studiarla per bene anche io )