Triangolando un quadrato

[Lasker]

Ecco a voi un problema di livello probabilmente delirante, che prende idee da MOLTI ambiti della matematica (non sapevo proprio in che sezione metterlo, o se metterlo... ), che però secondo me è simpatico e merita un posto del forum (non ho controllato troppo indietro ma non mi sembra di averlo visto). Personalmente non sarei mai arrivato da solo alla soluzione, quindi può darsi che non sia in grado di giudicare se le vostre considerazioni sono giuste o sbagliate .
Ecco quindi l'esercizio!

Si dimostri che non è possibile "triangolare" un quadrato, ovvero partizionarlo in un numero dispari di triangoli aventi tutti area uguale fra loro.

Sperando che piaccia ameno un po' e non sia troppo noto .

[Troleito br00tal]

Sei pazzo

[DamianoY]

Sono passate due settimane da quando è stato postato quindi credo non si offenda nessuno se chiedo sei suggerimenti o una soluzione (visto che a me ha incuriosito molto, anche se so che non è alla mia portata )


(L'unica cosa che sono riuscito a dimostrare è il caso in cui il numero di triangoli è $ 3 $ che è abbastanza ovvio per tutti credo)

[Lasker]

Scusa se non ho risposto prima, ma sono stato un po' impegnato e hintare per questo problema è abbastanza difficile (immagino che troleito abbia perfettamente ragione a definirmi un pazzo )... Provo un po', ma non garantisco assolutamente che si riesca a capire dove si vuole andare a parare. Gli hint veri partono dal secondo, il primo è solo l'inizio della dimostrazione.

Testo nascosto:

Mettiamo il quadrato in $\mathbb{R}^2$, ponendo i vertici in $(0,0),(0,1),(1,0)$ e $(1,1)$, associando quindi ad ogni punto del quadrato una coppia ordinata di reali $(x,y)$

Testo nascosto:

Bisogna colorare il quadrato in un certo modo (la scelta di metterlo nel piano cartesiano non è casuale, la colorazione infatti è abbastanza complicata ed è meglio definire bene il colore di ogni singolo punto), in particolare usando $3$ colori.

Testo nascosto:

La colorazione fa uso della norma duadica (spero si chiami veramente così), estesa dai razionali ai reali (in qualche modo oscuro da MNE) per differenziare i diversi punti del quadrato. La definizione di norma p-adica si può trovare qui su wikipedia, guardando il paragrafetto "Analytic Approach"

Testo nascosto:

Sempre per la colorazione, pare che per risolvere questo genere di problemi sia abbastanza standard usare il lemma di Sperner nel caso bidimensionale, e questo esercizio non fa eccezione

Se qualcuno volesse ancora hint, sono pronto a spoilerare

Testo nascosto:

la particolare colorazione

Comunque il problema è molto noto, se siete curiosi e volete sapere la soluzione si trovano molto facilmente delle dimostrazioni sul web