Interi particolari

[erFuricksen]

Trovare tutti gli interi non negativi che si possono esprimere nella forma
$ {a^2 + a b + b^2} \over {a b -1} $
dove a e b sono interi non negativi e $ ab \ne 1 $

Fonte: Second Selection Test for IMO and BMO (Romania 2004)

[Lasker]

Sembra molto classico (tempo fa scrissi una pseudo dimostrazione con il Vieta Jumping, vediamo se mi ricordo ancora come si usa...).

Dobbiamo risolvere negli interi non negativi l'equazione
$$\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}=k$$

Considerazioni preliminari: ricerco innanzitutto le soluzioni $(a,b,k)$ tali che $a=b=n$, sostituendo nell'espressione si ha che deve valere
$$n^2-1\mid 3n^2\Rightarrow n^2-1\mid 3n^2-3(n^2-1)=3$$
I casi da controllare sono quindi i (pochi) divisori di $3$, ovvero
1. $n^2-1=-3\ \ \Rightarrow n^2=-2$, assurdo.
2. $n^2-1=-1 \ \Rightarrow n^2=0\Rightarrow a=0$, da cui la soluzione $(0,0,0)$.
3. $n^2-1=1\ \ \Rightarrow n^2=2$, assurdo.
4. $n^2-1=3\ \ \Rightarrow n^2=4$, da cui la soluzione $(2,2,4)$.

Fatto ciò, posso porre WLOG (grazie alla simmetria del problema nelle variabili $a,b$) che valga $a>b$.


Lemma di Viéte I: se $(a,b,k)$ è soluzione, lo è anche una tra $\left(b,\frac{b^2+k}{a},k\right)$ e $\left(\frac{b^2+k}{a},b,k\right)$.

Usando il fatto che $ab-1\ne 0$ si ha

$$\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}=k\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a^2+ab+b^2-abk+k=0$$
Ora, considerando l'equazione parametrica di secondo grado
$$x^2-(bk-b)x+b^2+k=0$$
Una prima soluzione $x_1$ è evidentemente $a$, l'altra invece si può ricavare in funzione di questa con le formule di Viéte (le relazioni tra radici e coefficienti): visto infatti che il termine di primo grado è l'opposto della somma delle radici, vale $x_2=bk-b-a$ (che è dunque un numero intero perché somma di interi); mentre poiché il termine noto è il prodotto delle radici si ha anche $x_2=\frac{b^2+k}{a}$, completando la dimostrazione del lemma.



Lemma di Viéte II: Se $3< b< a$, allora vale $\frac{b^2+k}{a}<b$.

Io vorrei (si vedrà bene dopo perché) che valesse la disuguaglianza
$$\frac{b^2+k}{a}<b$$
Ovvero, per come è stato definito $k$,
$$\frac{b^2+\frac{a^2+ab+b^2}{ab-1}}{a}=\frac{ab^3- b^2+a^2+ab+ b^2}{a(ab-1)}=\frac{b^3+a+b}{ab-1}<b$$
Quindi a noi interessa sapere quando vale
$$b^3+a+b<ab^2-b\ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{b^3+2b}{b^2-1}<a$$
Ma, visto che $a>b$, abbiamo $a\geq b+1$ e allora vogliamo vedere quand'è che vale
$$\frac{b^3+2b}{b^2-1}<b+1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \ b^3+2b<b^3+b^2-b-1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ b^2-3b-1>0$$
E questa è vera per $b>3$. Facendo con attenzione gli stessi passaggi all'indietro, si vede che funziona tutto bene (ogni volta che si divide, il divisore è positivo ecc...) e quindi il lemma è dimostrato proprio per $b>3$.

Definisco ora, in funzione di ogni possibile valore del parametro $k$, $(A,B,k)$ come la soluzione che minimizza il valore di $b$ (nel caso ce ne siano più d'una basta prenderne una a caso), la quale esiste sicuramente per il principio del minimo intero. Grazie ai lemmi di Viéte, si ha che questo $B$ deve essere compreso tra $0$ e $3$ (inclusi), in quanto se fosse più grande potrei trovarne uno minore con la soluzione suggerita dal primo lemma. Ma allora abbiamo solamente pochi casi da fare!

a)Se $b=0$, allora
$$\frac{a^2}{-1}=k\ \ \Rightarrow \textrm{$k$ sarebbe negativo, assurdo}$$

b) Se $b=1$, allora
$$\frac{a^2+a+1}{a-1}=a+2+\frac{3}{a-1}\Rightarrow a-1\mid 3 \Rightarrow a=2 \lor a=4$$
E si trova in entrambi i casi il valore $k=7$.

c) Se $b=2$, allora
$$\frac{a^2+2a+4}{2a-1}\ \Rightarrow 2a-1\mid 7\ \ \Rightarrow a=4$$
E sostituendo viene fuori sempre $k=4$

d) Se $b=3$, allora
$$\frac{a^2+3a+9}{3a-1}\Rightarrow 3a-1\mid 91$$
Che invece non dovrebbe dare nuove soluzioni perché tutti i divisori di $91$ sono congrui ad $1$ modulo $3$.

I valori di $k$ possibili dovrebbero quindi essere $\{0, 4, 7\}$.

PS: è molto tardi è ho perso ogni capacità di ragionare prima di mettermi a fare i casi a mano, quindi è probabilissimo che abbia perso qualche soluzione così... speriamo che almeno il metodo generale funzioni