equazione

[amedeo__]

Trovare tutte le terne $(a,b,c)$ con $a,b,c$ naturali non nulli tali che
$2(a-1)(b-1)(c-1)=abc$

[Toadino2]

Posso tentare?

Testo nascosto:

Scrivere che un certo polinomio è divisibile sia per $a-1$, sia per $b-1$ e sia per $c-1$ equivale a dire che se sostituiamo a questi tre numeri $1$, il polinomio diventa uguale a 0.
Ma dato che il numero dato è una moltiplicazione, si deve per forza avere che un numero è uguale a zero, il che va contro l'ipotesi. Dunque un siffatto polinomio non può esistere.

Dunque non ci sono soluzioni?

[matpro98]

In realtà ci sono

[jordan]

Ma riscriviamola cosi, è piu' bella
$$
\left(1+\frac{1}{a-1}\right)\left(1+\frac{1}{b-1}\right)\left(1+\frac{1}{c-1}\right)=2
$$

[simone256]

Forse il problema bocconi più "olimpico" della L2 quest'anno!

[gpzes]

@jordan ...anche WLOG ..$a\le{b}\le{c}$ ..e $MCD(a,b,c)=1$..

[nic.h.97]

Ma riscriviamola cosi, è piu' bella
$$
\left(1+\frac{1}{a-1}\right)\left(1+\frac{1}{b-1}\right)\left(1+\frac{1}{c-1}\right)=2
$$

$ a\ge b\ge c \implies (1+\tfrac{1}{c-1})\ge (1+\tfrac{1}{b-1}) \ge (1+\tfrac{1}{a-1}) \implies (1+\tfrac{1}{c-1})^3\ge (1+\tfrac{1}{c-1})(1+\tfrac{1}{b-1})(1+\tfrac{1}{a-1})=2 $
Per $ c\ge 5 $ la disuguaglianza non è verificata.
C.E. $ a,b,c \ne 0 , 1 $.
Dunque si prova con $ c=\left \{ 2,3,4 \right \} $.
-$ c=2 $ porta a $ b+a=1 $ assurdo per C.E.
-per $ c=3 $ , dall'equazione di partenza $ (a-1)(b-1)(c-1)=2abc $ , si ricava $ b(c-4)=4c-4 \implies c-4|12 $
Da cui $ c=\left \{ 5,6,7,8,10,16 \right \} $ . Si verificano i casi a mano che portano a $ b $ intero
E si riprocede allo stesso modo per $ c=4 $.
Un bel po' lungo questo Bocconi ...