La centesima disuguaglianza
- 6frusciante9
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La centesima disuguaglianza
Siano $ a,b,c $ i lati di un triangolo . Dimostrare che
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c-a} \ge {3} $
Viene dall'Engel
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c-a} \ge {3} $
Viene dall'Engel
Chi lotta con i mostri deve star attento a non diventare un mostro. E se guarderai a lungo un abisso, l'abisso finirà per guardare in te
Re: La centesima disuguaglianza
(le somme sono tutte cicliche)
Moltiplico numeratore e denominatore per $a$:
\[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\]
Uso il lemma di Titu e ottengo:
\[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\]
Ora mi basta dimostrare che
\[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6\sum ab-3\sum a^2.\]
Cioè che:
\[4\sum a^2\ge 4\sum ab,\]
che è vero per bunching. Vabbè ma queste disuguaglianze si fanno tutte con Titu+bunching, diventano noiose![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
Moltiplico numeratore e denominatore per $a$:
\[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\]
Uso il lemma di Titu e ottengo:
\[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\]
Ora mi basta dimostrare che
\[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6\sum ab-3\sum a^2.\]
Cioè che:
\[4\sum a^2\ge 4\sum ab,\]
che è vero per bunching. Vabbè ma queste disuguaglianze si fanno tutte con Titu+bunching, diventano noiose
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"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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- 6frusciante9
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Re: La centesima disuguaglianza
Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie
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Re: La centesima disuguaglianza
Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
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[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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Re: La centesima disuguaglianza
In effetti lo ho pensato anche io , ma la stima nei confronti dei forumisti mi ha spinto a dire che fosse giusta .... Ad esempio io avevo posto $ a=x+y ,\ b=y+z, \ c=x+z $ con $ x,y,z>0 $
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Re: La centesima disuguaglianza
Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
P.S.:
Credo che la scheda A15 delle schede olimpiche spieghi abbastanza, altrimenti un qualsiasi video di A2 del medium del senior, credo6frusciante9 ha scritto:Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie
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Re: La centesima disuguaglianza
Comunque la tua ultima disuguaglianza ( se non ho fatto confusione con la notazione ) non dovrebbe essere vera anche per riarrangiamento ???
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Re: La centesima disuguaglianza
Sì, si fa anche per riarrangiamento. È vera anche per AM-GM, o per somma di quadrati; ma questo non nega che bunching sia più bello. ![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
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Re: La centesima disuguaglianza
Beh il riarrangiamento non fa neanche uso dell'ipotesi $ a,b,c>0 $ ...
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Re: La centesima disuguaglianza
No, da qualche parte stai usando che sono i lati di un triangolo... ad esempio, la terna $(1,1,3) $ non va bene nella disuguaglianza, ma tu sembri dimostrare che vale per tutte...Talete ha scritto:Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.
prova a riguardare passaggio per passaggio che ipotesi ti servono per "applicare" certe disuguaglianze
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Re: La centesima disuguaglianza
Ah, sì, giusto! Usando Titu, devo dire che $ab+ac-a^2$ e cicliche sono maggiori di $0$, poiché se fosse $ab+ac-a^2\le0$, non potrei applicare Titu: infatti è Cauchy-Schwarz sulle $3$-uple $\{a^2/\sqrt{ab+ac-a^2}\}$ e $\{\sqrt{ab+ac-a^2}\}$, ma se $ab+ac-a^2\le0$, la sua radice non sta in $\mathbb{R}$ e quindi non posso usare Cauchy-Schwarz su numeri in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$! Grazie ![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
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Re: La centesima disuguaglianza
Esatto, lo usi lì. Ma devi dirlo. Se prendi la tua dimostrazione e ci aggiungi "I denominatori sono positivi per l'ipotesi che a,b,c sono i lati di un triangolo, quindi possiamo usare Titu" va bene.Talete ha scritto:Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.![]()
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Re: La centesima disuguaglianza
Ah, ok! Grazie mille! ![Wink ;)](./images/smilies/icon_wink.gif)
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Re: La centesima disuguaglianza
Si potrebbe fare anche senza Titu e bunching: con la classica sostituzione $ a=x+y $ e cicliche, ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c-a}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq3\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq6$$
che (come quella originale, in realtà) è omogenea, quindi wlog $ x+y+z=1 $. Sostituisco e ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1-z}{z}\geq6\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1}{z}\geq9$$
che è vera per AM-HM su $ (x,y,z) $.![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c-a}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq3\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq6$$
che (come quella originale, in realtà) è omogenea, quindi wlog $ x+y+z=1 $. Sostituisco e ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1-z}{z}\geq6\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1}{z}\geq9$$
che è vera per AM-HM su $ (x,y,z) $.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Re: La centesima disuguaglianza
Sì, ok, è vero anche questo
Però quando sei a:
\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]
Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
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\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]
Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi
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