Potenze perfette consecutive - II

[jordan]

[Parte 1 qui]

Siano $x,y,p,q$ interi maggiori di $1$ tali che $$x^p-y^q=1.$$

Problema: Trovare tutte le soluzioni nel caso che $x$ è minore di $4^q$.


[Ps. Sotto l'ipotesi che $q\mid x$ e $p\mid y$ si potrebbe provare anche qualcosa di piu' forte qui ]

[6frusciante9]

Per ipotesi otteniamo $ y=3 $ o $ y=2 $ , dividiamo dunque la dimostrazione in due casi :

$ 1 $) $ y=3 $ Abbiamo $ x^p-1=3^q $ . Per $ p=2k $ si verifica facilmente l'inesistenza di soluzioni . Per $ p $ dispari possiamo appilcare $ LTE $ ( tutte le ipotesi sono verificate ) ed otteniamo $ v_3(x^p-1)=v_3(x-1)+v_3(p)=q $ , quindi $ x=a\cdot3^{\alpha} $ per qualche $ \alpha < q $ con $ (a,3)=1 $ . Dunque $ p=b\cdot3^{q-\alpha} $ con $ (b,3)=1 $ . Sappiamo anche che $ (b,2)=1 $. Ma allora $ \displaystyle (a\cdot3^{\alpha}+1)^{3^{q-\alpha}\cdot b}-1 \equiv 0 \equiv 3^q \ mod(a) $ chiaramente assurdo dato che $ (a,3)=1 $ .

$ 2 $) $ y=2 $ Abbiamo che $ x $ è necessariamente dispari e dato che $ q>1 $ possiamo applicare $ LTE $ con $ 2 $ : $ v_2(x^n-1)=v_2(x-1)+v_2(p) $ e si conclude come prima ... Ma ciò mi pare propio strano dato che $ (3,2,2,3) $ è soluzione ... dove sta l'errore ?

[jordan]

Apparte che puoi risolvere molto piu' in generale il caso "y potenza di primo" [vedi parte 1]: ma come arrivi a $y \in \{2,3\}$?

[6frusciante9]

Dal fatto che x<4^q

[jordan]

Ti pregherei di dare una risposta completa stavolta: se $x<4^q$ allora perchè $y \in \{2,3\}$?

[6frusciante9]

Scusami scusami tanto ... Mi sono accorto solo ora di aver scritto una ca*vo*lata .... Mi ero dimenticato dell'esponente sulla x . Scusami ancora

[jordan]

No problem, scusami te: pensavo la risposta di prima fosse di proposito