Sempre tra i piedi

[EvaristeG]

Sia $ABC$ un triangolo. Dimostrare che il circocentro è allineato con i piedi delle bisettrici da $A$ e da $B$ se e solo se l'incentro è allineato con i piedi delle altezze da $A$ e da $B$.

[Esercizio per chi segue questo - ovviamente chiunque può postare soluzioni, ma vi prego di metterle come testo nascosto!]

[LucaMac]

Aggiungete pure l'ipotesi che il triangolo $ABC$ non è retto in $C$, altrimenti due punti coinciderebbero e succederebbero cose brutte, tipo la tesi sarebbe falsa..

[EvaristeG]

In quel caso, l'intuizione di continuità vorrebbe che "allineati" diventasse "coincidenti" dove si parla dei piedi delle altezze. Ma, per bontà, prendete pure un triangolo non rettangolo.

[Talete]

Ci provo metto sotto spoiler perché così se qualcun altro vuole provare...

Testo nascosto:

Innanzitutto siano $R_a=b^2+c^2-a^2$ e cicliche. Supponiamo che $R_c\neq0$ per quanto detto sopra (altrimenti ci sono problemi) e quindi dopo posso dividere per $R_c$ senza ammazzarmi. Allora i punti che piacciono a noi sono (con sorprendente significato delle lettere):
$H_a=[0:1/R_b:1/R_c]$
$H_b=[1/R_a:0:1/R_c]$
$I=[ac]$
$K_a=[0c]$
$K_b=[a:0:c]$
$O=[a^2R_a:b^2R_b:c^2R_c]$

La retta $H_aH_b$ è $xR_a+yR_b=zR_c$. Chiaramente questa retta passa per $I$, cioè $H_a$, $H_b$ e $I$ sono allineati, se e solo se:
\[aR_a+bR_b=cR_c.\]

La retta $K_aK_b$ è $x/a+y/b=z/c$. Quindi, questa retta passa per $O$ (e dunque $K_a$, $K_b$ e $O$ sono allineati) se e solo se:
\[aR_a+bR_b=cR_c.\]

Quindi la tesi è dimostrata