Geometria

[Stoker]

Alura...
<BR>
<BR>Sia O il circocentro del triangolo ABC e siano D,E,F, rispettivamente i punti intercettati sui lati oposti dalle rette OA, BO e CO.
<BR>Dimostrare che 1/AD+1/BE+1/CF=2/AO
<BR>
<BR>Biezz

[Fede_HistPop]

Ah, quello di ieri sera! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

[Stoker]

up
<BR>

[EvaristeG]

Allora...aggiungiamo qualche punto...siano H,K,J i piedi delle perpendicolari portate da O rispettivamente su BC,CA,AB. Siano H\' e K\' i piedi delle perpendicolari da F su BC e CA.
<BR>Abbiamo che
<BR>OK/FK\' = CO/CF e OH/FH\'=CO/CF
<BR>Inoltre
<BR>AB*OJ + BC*OH + CA*OK =2S S area
<BR>e
<BR>BC*FH\'+CA*FK\'=2S
<BR>
<BR>Esplicitando FK\' e FH\' dalle prime uguaglianze abbiamo
<BR>FH\'=OH*CF/CO
<BR>FK\'=OK*CF/CO
<BR>ed operando le sostituzioni appena trovate:
<BR>CF/CO*(BC*OH+CA*OK)=2S
<BR>da cui , chiamando CO=R
<BR>1/CF=(BC*OH+CA*OK)/(2S*R)
<BR>e similmente possiamo scrivere
<BR>1/AD=(AB*OJ+AC*OK)/(2S*R)
<BR>1/BE=(AB*OJ+BC*OH)/(2S*R)
<BR>
<BR>ora, sommando:
<BR>
<BR>1/AD + 1/BE + 1/CF=1/(2S*R) * 2(AB*OJ + BC*OH + CA*OK)=
<BR>=1/(S*R) * (2S)=2/R=2/AO
<BR>
<BR>cvd
<BR>

[EvaristeG]

Risollevo il problema, chiedendo: a nessuno viene in mente un metodo più elegante, meno da carro armato ? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

[J4Ck202]

Classico metodo delle superfici.
<BR>Dobbiamo dimostrare che
<BR>
<BR>AO/AD + BO/BE + CO/CF = 2
<BR>
<BR>Moltiplichiamo ambo i membri per la superficie di ABC, ottenendo
<BR>
<BR>S(ABOC) + S(ABCO) + S(BCAO) = 2 S(ABC)
<BR>
<BR>Che è piuttosto banale.
<BR>2 lines special just for you, guys.
<BR>

[ma_go]

uhm... direi, caro evariste, che effettivamente non c\'è metodo più elegante...
<BR>tanto di cappello al menzionato, anche se va detto che non è sempre bello farsi umiliare...