Simpatico polinomio iraniano

[Talete]

Trovare tutti i polinomi $P(x)$ di terzo grado tali che per ogni $x\ge0$ e per ogni $y\ge0$:
\[P(x+y)\ge P(x)+P(y).\]
Mi chiedo perché io posti ancora problemi invece di fare gli esercizî (l'esercizio, oramai) per il Senior...

[Whov]

Provo

Testo nascosto:

sia $ p(x)=ax^3+bx^2+cx+d $ il generico polinomio di 3°grado in x. Devo risolvere la disequazione $ \forall x,y \in \mathbb{R_0^+} $
Dal calcolo brutale risulta $ 3\,a\,x\,{y}^{2}+3\,a\,{x}^{2}\,y+2\,b\,x\,y \geq d $, che prova subito $ \forall c \in \mathbb{R} $. Inoltre per x=0 si deduce che $ d\leq 0 $, poiché $ 0 \geq d $. Raccolgo in $ xy(3a(x+y)+2b)\geq d $. Il caso a<0 porta il lato sinistro, per x,y grandi, ad essere minore di qualsiasi valore finito d, che è assurdo; per cui $ a\geq 0 $. Ora procedo evidenziando b supponendo $ a\neq 0 $ per salvare il grado del polinomio: $ b \geq \frac{d}{2xy}-\frac{3}{2}a(x+y) $. Cerco per quali (x,y) si abbia il massimo nel lato destro; allora è sufficiente $ b\geq massimo $. Eguagliando a 0 le derivate parziali in x e y si ottiene x=y=$ \sqrt[3]{-\frac{d}{3a}} $ da cui il massimo è $ \dfrac{\sqrt[3]{3^5a^2d}}{2} $.