Disuguaglianza sui reali SNS

[Euler271]

Salve ragazzi. Volevo proporvi questo quesito dato al test di ammissione della SNS (spero vi piaccia )
Siano
$ \alpha, \beta, \gamma, x, y, z $
dei numeri reali tali che
$ \alpha z - 2\beta y + \gamma x =0 $
$ \alpha \gamma - \beta^{2} >0 $
Ho trovato la soluzione rocambolescamente

Dimostrare che allora si ha che
$ x z - y^{2} \leq 0 $

[gpzes]

…provo così:
Osservazione (1): $\alpha ,\gamma \ne 0$ per condizione data.
Osservazione (2): se $x=0\vee z=0$ la disuguaglianza è vera, indipendentemente dai valori di $y,\beta $.
Osservazione (3): per Osservazione (2), si può assumere che $x\ne 0\wedge z\ne 0$ ; fissati $\alpha ,\beta ,\gamma $ e per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$, possiamo anche WLOG porre $z=1$.
Analogamente, dati $z,y,x$ per condizione $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$ e Osservazione (1), possiamo anche WLOG porre $\alpha =1$.

Fatto ciò, Ipotesi e Tesi diventano, rispettivamente, $1+\gamma x=2\beta y\ ,\ \gamma -{{\beta }^{2}}>0$ e $x-{{y}^{2}}\le 0$.
Facendo le opportune sostituzioni otteniamo $x-{{y}^{2}}=\frac{2\beta y-1}{\gamma }-{{y}^{2}}=\frac{-\gamma {{y}^{2}}+2\beta y-1}{\gamma }<0$, per ipotesi $\gamma -{{\beta }^{2}}>0$.

Ci sarà errore ma comunque...

[Euler271]

Non ho capito perché $ \alpha = 1 $ $ z = 1 $

[gpzes]

Se $\alpha z-2\beta y+\gamma x=0$ allora fissati $\alpha ,\beta ,\gamma $ si ha che anche la terna $\left( kx,ky,kz \right)\ k\ne 0$ soddisfa la stessa relazione. E viceversa, fissati $x,y,z$ si ha che anche la terna $\left( L\alpha ,L\beta ,L\gamma \right)\ L\ne 0$ soddisfa la stessa relazione.
Allora potrei scegliere $k=\frac{1}{z},z\ne 0$ oppure $k=\frac{1}{x},x\ne 0$ per la terna $\left( kx,ky,kz \right)\ k\ne 0$.
E potrei scegliere $L=\frac{1}{\alpha },\alpha \ne 0$ oppure $L=\frac{1}{\gamma },\gamma \ne 0$ per la terna $\left( L\alpha ,L\beta ,L\gamma \right)\ L\ne 0$.

Non so se é giusto fare così ehh .. spero

[Lasker]

Spostiamo il termine negativo della nostra equazione al RHS e quadriamo da entrambe le parti, ottenendo
$$(\alpha z+\gamma x)^2=(2\beta y)^2\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz=4\beta^2 y^2$$
Ora, visto che $(\alpha z-\gamma x)^2\geq 0\Rightarrow \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2\geq 2\alpha\gamma xz$, si ha che vale
$$4\alpha\gamma xz\leq \alpha^2 z^2+\gamma^2 x^2+2\alpha\gamma xz= 4\beta^2y^2\Rightarrow \alpha\gamma xz\leq \beta^2y^2 $$
Adesso, poiché $\alpha\gamma>\beta^2\geq 0$, è positivo, posso dividere per $\alpha\gamma$ senza cambiare verso alla disuguaglianza
$$xz\leq \frac{\beta^2y^2}{\alpha\gamma}$$
Ma il RHS è a sua volta minore od uguale a $y^2$ perché $0\leq\frac{\beta^2}{\alpha\gamma}<1$ (è sempre la disuguaglianza sulle nostre lettere greche), e quindi la tesi è dimostrata.

@Euler271: potresti aggiungere numero del problema ed anno nel titolo? Così magari (se non è già presente) si può mettere più facilmente nella raccolta sul forum dei vecchi problemi SNS

[gpzes]

..bravo Lasker..a quadrare non ci avevo pensato
Beh..dovessi mettere mano sul fuoco la metterei più su soluzione di Lasker che non sulla mia

[Euler271]

Lasker credo fosse il numero 4 degli anni 80 non ricordo di preciso

[Euler271]

Comunque ecco la mia soluzione si ha che $ \alpha \gamma > 0 $
Considero il seguente polinomio
$ P (T) = \alpha z T^{2} - 2 \beta y T + \gamma x $
Esso si annulla in $ T = 1 $
infatti $ P ( 1 ) = \alpha z - 2 \beta y + \gamma x = 0 $

Esso avrà anche un altra radice che non ci interessa quindi ha 2 radici reali e quindi:
$ \frac {\Delta} {4} = \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Ora lavoro sulla disuguaglianza tra lettere greche che diventa
$ \alpha \gamma y^{2} \geq \beta^{2} y^{2} $ $ \Rightarrow $
$ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq \beta^{2} y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
Cioè $ \alpha \gamma y^{2} - \alpha \gamma x z \geq 0 $
E dividendo per $ - \alpha \gamma $
$ x z - y^{2} \leq 0 $