185. Poca roba, non trovo di meglio

[erFuricksen]

Determinare tutte le terne $(a,b,p)$, con $a,b$ interi positivi e $p$ primo, tali che
$$9a^3 (3a^6+b^6)=p-b^9$$

tristemente own, non è un granché, ma non mi sono fatto venire in mente di meglio.

[Scugnamì]

Allò a destra sta un bel primo. Proviamo a scomporre!

Notiamo che vale $ 27a^9+b^9+3a^3b^6=(3a^3+b^3)^3-27a^6b^3 \Rightarrow (3a^3+b^3-3a^2b)[(3a^3+b^3)^2+9a^4b^2+3a^2b(3a^3+b^3)]=p$. $.

Il termine nella seconda parenti è maggiore dell'altro( non fosse altro che perchè nei naturali $x^2+y^2 > x-y$ ).

Allora deve essere $3a^3+b^3-3a^2b=1$. Ora $ a> b \Rightarrow 3a^3-3a^2b \geq 1 \Rightarrow 3a^3+b^3-3a^2b >1$.

Inoltre $ a=b \Rightarrow b^3=1 \Rightarrow b=1$ da cui la soluzione $p=37$.

Inoltre dimostriamo che $b >a \Rightarrow b^3+3a^3 >a^3+3a^2b >3a^2b+1 $. Difatti vale : $ (b-a)(b^2+a^2+ab) > 3a^2(b-a) $ cioe' $ b^2+ab > 2a^2 $ che è ben vera in quanto per ipotesi $b >a$.

[erFuricksen]

Nel caso $a>b$ hai invertito il segno di una disuguaglianza, poco male; nel caso $b>a$ invece non credo di aver capito bene i tuoi passaggi.. potresti rispiegarli?

[Scugnamì]

Corretto il typo. E spero adesso sia più chiaro. Ho essenzialmente impostato un' altra catena di disuguaglianze per cercare di mostrare che quella robbba era > 1

[erFuricksen]

Ok, l'ho riguardato a un'ora decente e l'ho capito Ottimo, vai pure con il prossimo

[Scugnamì]

No ero io che avevo scritto in modo incomprensibile la catena di disuguaglianze ,np xD