186. SNS 1997.6
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Si determinino tutti gli interi positivi $n$ che siano divisibili per tutti gli interi positivi minori o uguali a $ \sqrt n$
Cristo è l'unica soluzione reale. Tutte le altre sono complesse coniugate
Un corpo maleducato immerso in un liquido jastemma.
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Re: 186. SNS 1997.6
Trattiamo a parte il caso $ \sqrt{n}<5 $
Ora se $ \sqrt{n}\geq 5 $ Il numero dovrà essere sicuramente multiplo di $ 3,4,5 $ e cioè varrà minimo $ 60 $. Ma $ \sqrt{60}>7 $ e allora tra i divisori $ n $ dovrebbe avere anche $ 7 $. Ma allora dovrebbe essere minimo $ 420 $, ma $ \sqrt{420}>20 $ e quindi $ n $ dovrebbe avere altri primi nella sua fattorizzazione, e anche potenze di primi maggiori di quelle che ha già.
Ma allora si capisce che $ n $ sale troppo in fretta rispetto alla radice, dato che continuano ad aumentare i divisori. (Purtroppo non lo so mostrare in un modo migliore ad esempio con disuguaglianze, quindi se qualcuno ci riesce mi faccia sapere che non sono bravissimo a stime)
Ma allora $ \sqrt{n}<5 $ Quindi $ n <25 $. I casi possibili sono pochi e si fanno guardando $ mcm (numeri\ consecutivi) $ e i suoi multipli. I casi possibili sono $ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 $ (dato che da 4 in poi deve essere pari e da 9 in poi $ n $ deve essere multiplo sia di 2 e 3 e quindi di 6) e si vede che $ 18 $ non va bene perché ha numeri minori della radice che non lo dividono
Quindi $ n=\{1,2,3,4,6,8,12,24\} $
Ora se $ \sqrt{n}\geq 5 $ Il numero dovrà essere sicuramente multiplo di $ 3,4,5 $ e cioè varrà minimo $ 60 $. Ma $ \sqrt{60}>7 $ e allora tra i divisori $ n $ dovrebbe avere anche $ 7 $. Ma allora dovrebbe essere minimo $ 420 $, ma $ \sqrt{420}>20 $ e quindi $ n $ dovrebbe avere altri primi nella sua fattorizzazione, e anche potenze di primi maggiori di quelle che ha già.
Ma allora si capisce che $ n $ sale troppo in fretta rispetto alla radice, dato che continuano ad aumentare i divisori. (Purtroppo non lo so mostrare in un modo migliore ad esempio con disuguaglianze, quindi se qualcuno ci riesce mi faccia sapere che non sono bravissimo a stime)
Ma allora $ \sqrt{n}<5 $ Quindi $ n <25 $. I casi possibili sono pochi e si fanno guardando $ mcm (numeri\ consecutivi) $ e i suoi multipli. I casi possibili sono $ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 $ (dato che da 4 in poi deve essere pari e da 9 in poi $ n $ deve essere multiplo sia di 2 e 3 e quindi di 6) e si vede che $ 18 $ non va bene perché ha numeri minori della radice che non lo dividono
Quindi $ n=\{1,2,3,4,6,8,12,24\} $
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
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Re: 186. SNS 1997.6
Uhm purtroppo la prima parte è abbastanza confusa. Ti consiglio di attaccare in maniera diversa il problema con relazioni di divisibilità e bound ..
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Re: 186. SNS 1997.6
@AlexThirty: ecco un paio di idee banali per una dimostrazione cieca e bovina.
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
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Re: 186. SNS 1997.6
Potrebbe essere una buona approssimazione (che credo possa essere migliorata all'infinito ), quella di considerare il prodotto $ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)(\sqrt{n}-2)}{2} $?. Questo perché n dovrà essere sicuramente multiplo di tutti e tre, ma siccome sono coprimi a due a due tranne due che possono avere il fattore 2 in comune.
Ora basta vedere per quale n quel prodotto supera n, e sicuramente lo farà dato che se poniamo$ a=\sqrt{n} $ abbiamo un polinomio di terzo grado e uno di secondo.
$ a(a-1)(a-2)>2a $
Questa dovrebbe essere vera per $ a>\frac{9}{2} $ (ma molto largamente approssimato). Quindi basta controllare a mano i casi con $ \sqrt{n}\leq 4 $.
Secondo voi come è ?
Ora basta vedere per quale n quel prodotto supera n, e sicuramente lo farà dato che se poniamo$ a=\sqrt{n} $ abbiamo un polinomio di terzo grado e uno di secondo.
$ a(a-1)(a-2)>2a $
Questa dovrebbe essere vera per $ a>\frac{9}{2} $ (ma molto largamente approssimato). Quindi basta controllare a mano i casi con $ \sqrt{n}\leq 4 $.
Secondo voi come è ?
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Re: 186. SNS 1997.6
L'idea può stare in piedi però ricordati di considerare la parte intera di $\sqrt{n}$ ( si scrive $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$) !
Per il resto, credo stia tutto in piedi (magari formalizzato un po meglio, con un induzione sulla disuguaglianza)
Per il resto, credo stia tutto in piedi (magari formalizzato un po meglio, con un induzione sulla disuguaglianza)
In geometria tutto con Pitagora, in Algebra tutto con Tartaglia
Re: 186. SNS 1997.6
Prendendola alla larga: Siano $ h,k >0 $ fissati, con $h$ intero. Allora esiste solo un numero finito di interi $n>0$ tale che tutti gli interi in $[1,n^k]$ dividono $n^h$.
L'ipotesi si riscrive come $\mathrm{lcm}(1,\ldots,\lfloor n^k\rfloor)$ divide $n^h$. In particolare, il minimo comunque multiplo è divisibile per tutti i primi $\le n^k$. Ora, per il teorema dei numeri primi abbiamo $\prod_{p \le n^k}p =\mathrm{exp}\left(\sum_{p \le n^k}\ln p \right) = \mathrm{exp}\left(n^k(1+o(1))\right)$, implicando definitivamente
$$
\mathrm{exp}\left(n^{k/2}\right)\le \mathrm{lcm}(1,\ldots,\lfloor n^k\rfloor) \le \mathrm{exp}\left( h \ln n\right),
$$
che è assurdo.
L'ipotesi si riscrive come $\mathrm{lcm}(1,\ldots,\lfloor n^k\rfloor)$ divide $n^h$. In particolare, il minimo comunque multiplo è divisibile per tutti i primi $\le n^k$. Ora, per il teorema dei numeri primi abbiamo $\prod_{p \le n^k}p =\mathrm{exp}\left(\sum_{p \le n^k}\ln p \right) = \mathrm{exp}\left(n^k(1+o(1))\right)$, implicando definitivamente
$$
\mathrm{exp}\left(n^{k/2}\right)\le \mathrm{lcm}(1,\ldots,\lfloor n^k\rfloor) \le \mathrm{exp}\left( h \ln n\right),
$$
che è assurdo.
The only goal of science is the honor of the human spirit.