Normale 2015

[Euler271]

Come vi è sembrato il test d'ammissione per la normale? Quanti esercizi avete risolto?

[jordan]

Potreste postare i testi della gara?

[Euler271]

Vediamo se ricordo:
il primo riguardava minimi e massimi ma non ricordo esattamente la simbologia usata.
il secondo riguardava la probabilità che una mosca aveva di andare sul pavimento sapendo certe probabilità.
il terzo riguardava i quadrati magici.
il quarto lo ricordo:
Dimostrare che è sempre possibile esprimere
$ n^{k} $ come somma di $ n $ numeri dispari consecutivi per $ n \geq 1 , k \geq 2 $
Il quinto: siano r e s due semirette aventi l'origine O in comune, formanti un angolo $ \theta $ compreso strettamente fra $ 0 $ e $ \pi $. Si sa che 2 segmenti AV e VB hanno somma L e sono collocati con l'estremo A su r e l'estremo B su s. Si forma il poligono AOBV. Qual è il massimo valore possibile per l'area in funzione di $ \theta $ e L?
Il sesto riguardava il sudoku 4x4 e il primo punto chiedeva le possibili soluzioni

[Euler271]

Chi li ha fatti può mettere la soluzione?Grazie

[Euler271]

Ib particolare il 5

[wall98]

Il 5 è un induzione:

Testo nascosto:

Fatto noto: la somma $1+3+5+...+x=(\frac{x+1}2)^2$
A questo punto facciamo un'induzione su $k$.

Passo base: $n^2=1+3+5+...+(2n-1)$ per il fatto noto.

Passo induttivo: supponiamo $n^k=(a+2)+(a+4)+...+(a+2n)$ per qualche $a$ dispari. Vogliamo mostrare che esiste $b$ dispari tale che $n^{k+1}=(b+2)+(b+4)+...(b+2n)$

Notiamo che $n^{k+1}=n(a+2)+n(a+4)...+n(a+2n)=an^2+2n(1+2+3+...+n)=an^2+n^2(n+1)=(a+n+1)n^2$

Allo stesso modo $n^{k+1}=(b+2)+(b+4)+...(b+2n)=(b+n+1)n$

Imponiamo l'uguaglianza trovando $(b+n+1)n=(a+n+1)n^2$ cioè $b+n+1=an+n^2+n$ da cui $b=n^2+an-1$, notiamo anche che, visto che $a$ è dispari, lo è anche $b$, che è la tesi.

[DamianoY]

1) non fatto
2)ho impostato le formule ricorsive, ma non riuscivo a risalire a una formula diretta (evidentemente ho sbagliato qualche sostituzione)
3)penso di averlo fatto (anche se mi sono espresso malino), comunque l'ho fatto per assurdo
4)Fatto, c'era modi di risolverlo anche senza induzione se non sbaglio
5)fatto dopo la prova... Purtroppo inizialmente avevo mal interpretato il testo
6)fatto (primo punto ho contato male le soluzioni ma ho svolto bene i rimanenti 2 punti)

Poteva andare sicuramente molto meglio per me, ma non mi lamento!
Come vi è andata fisica oggi?
Io ho i testi, se qualcuno è sempre interessato li posso postare.

[Euler271]

Fisica benino.
DamianoY puoi postare o inviarni in privato la soluzione del 5 di mate? Grazie

[DamianoY]

La posto qui sotto (è fatta di fretta, non ho descritto i casi limite ne mi sono dilungato troppo per essere preciso, ma l' essenza è questa):

Testo nascosto:

ES 5

Chiamo il segmento $AB=2x$ e mi immagino che i punti $A$ e $B$ abbiano una posizione fissa nello spazio.
adesso prendo in considerazione il triangolo $AVB$ di base $AB=2x$ e mi accorgo che $V$ può assumere tutti e soli i punti dello spazio appartenenti a un ellisse di fuochi $A$ e $B$, è quindi evidente che massimizzo l' area di $AVB$ quando l' altezza del triangolo è pari al semiasse minore dell' ellisse ovvero $\sqrt{{\frac{L}{2}}^2-x^2}$; l' area è quindi pari a $x\sqrt{{\frac{L}{2}}^2-x^2}$.
Analogamente considero il triangolo $AOB$ di base $AB$:
Il vertice $O$ giace necessariamente sulla circonferenza con un angolo al centro che insiste su $AB$ pari a $2 \theta$, anche in questo caso possiamo massimizzare l' area ponendo $AOB$ isoscele, con altezza pari a $x \cot{ \frac{\theta}{2}}$; l' area di $AOB$ è quindi $x^2 \cot{ \frac{\theta}{2}}$.

Per trovare il massimo a questo punto basta cercare il massimo della funzione $y=x\sqrt{{\frac{L}{2}}^2-x^2}+x^2 \cot{ \frac{\theta}{2}}$.
Sinceramente non ho finito di svolgerla perchè l'esercizio a questo punto è praticamente terminato.

Se vi sembra ci siano degli errori ditemi pure

[wall98]

Posto un'altra soluzione (orribile rispetto a quella di Damiano (non mi ero accorto della circonferenza su $ABO$ e mi sono arrangiato in altro modo))

Testo nascosto:

Fissiamo la lunghezza di $AB$, notiamo che a questo punto dobbiamo massimizzare (separatamente) $[ABV],[AOB]$ (dove con $[ABC]$ intendiamo l'area di $ABC$).

-$[ABV]$, per Erone possiamo scrivere $[ABV]=\sqrt{p(p-AB)(p-AV)(p-BV)}$, visto che $p,p-AB$ sono costanti massimizzare quella radice equivale a massimizzare $(p-AV)(p-BV)$, per $AM-GM$ si ha $costante=(\frac{(p-AV)+(p-BV)}2)^2 \ge (p-AV)(p-BV)$ con uguaglianza se e solo se $(p-AV)=(p-BV)$ cioè $AV=BV=\frac L 2$

-$[ABO]$, chiamiamo $\alpha=\theta$ ($\theta$ è oggettivamente inguardabile come lettera), $x=\angle OAB, y=\angle OBA$, dunque $\displaystyle [ABO]=\frac 1 2 AO\cdot BO \cdot sin \alpha=\frac 1 2 \cdot AB^2 \cdot \frac{sin(y)sin(x)}{sin(\alpha)}$ perchè $AO \cdot sin(\alpha)=AB \cdot sin(y)$ e $BO \cdot sin(\alpha)=AB \cdot sin(x)$

Massimizzare $\displaystyle \frac 1 2 \cdot AB^2 \cdot \frac{sin(y)sin(x)}{sin(\alpha)}$ equivale a massimizzare $sin(y)sin(x)$ perchè le altre quantità sono fissate,
Noto $y=\pi-\alpha-x$ da cui $sin(x)sin(y)=sin(x)sin(\pi-\alpha-x)=sin(x)sin(\alpha+x)$

Notiamo che $\displaystyle sin(x)sin(\alpha+x) \le \frac{1+cos(\alpha)}2$, infatti $\displaystyle 2sin(x)sin(\alpha+x) \le 1+cos(\alpha)$ da cui (per le formule di bisezione, credo) si ha $\displaystyle cos(\alpha + 2x)-cos(\alpha) \le 1+cos(\alpha)$ cioè $cos(\alpha + 2x) \le 1+2cos(\alpha)$ che è banalmente vera perchè il coseno è minore o uguale a uno.

Notiamo che per $x=90-\frac{\alpha}2$ vale $\displaystyle sin(x)sin(\alpha+x)=sin(90-\frac{\alpha}2)sin(90+\frac{\alpha}2)=cos(\frac{\alpha}2)cos(\frac{\alpha}2)=\frac{cos(\alpha)+1}2$ per un'altra formula di cui non ricordo il nome, quindi per $x=90-\frac{\alpha}2$ (cioè se $ABO$ è isoscele) abbiamo che $\displaystyle sin(x)sin(\alpha+x)$ si massimizza e quindi si massimizza anche $[ABO]$

Ora sappiamo che $AV=BV=L$ e che $AO=BO$, con un po' di conti si può calcolare l'area (con dei conti bruttissimi, siccome ci deve essere un modo più bello e pulito, che non mi sta venendo in mente, non li svolgo)

[polarized]

4)Fatto, c'era modi di risolverlo anche senza induzione se non sbaglio

Ad occhio é anche più intuitivo senza induzione, o almeno per me lo é, anche perché inducendo non mi é saltato fuori nulla

[Drago96]

Forse sarebbe meglio postare i singoli problemi nelle sezioni degli esercizi!

Di fisica credo di averne fatti 3 o 4, ma non ce n'era nessuno di impossibile...

[remat7]

Ciao a tutti, mi scuso se scriverò qualche baggianata col tex ma è la prima volta. Vorrei postare le soluzioni di matematica che ho dato al test per la Normale:
4)Dimostrare che è sempre possibile scrivere $ n^{k} $ come somma di n numeri dispari consecutivi per $ n \geq 1 , k \geq 2 $
E' quindi necessario dimostrare che esiste sempre un numero intero $ z $ tale che $ (2z+1) + (2z+3) + ... + (2z+(2n-1)) = n^{k} $
Riordinando si ottiene $ 2nz + (1+2n-1)(n/2)=n^{k} $. Divido tutto per $ n $ poichè $ n \geq 1 $ e ottengo $ 2z = n(n^{k-2} -1) $ ed avendo quindi che $ n \geq 1 , k \geq 2 $ allora $ n(n^{k-2} -1) $ è sempre pari. Quindi $ z $ esiste sempre e inoltre si può concludere che $ z\geq0 $

6) E' quello della griglia $ 4X4 $ divise in 4 regioni $ 2X2 $ contenenti ciascuna i numeri da 1 a 4. Le regole sono le stesse del sudoku. Si chiamano soluzioni tutte le disposizione sulla griglia che non contraddicono le regole.
a) Il numero di soluzioni è $ 384 $:
la prima regione può essere riempita in $ 4! $ modi, quella di fianco in 4 modi (2 per la prima riga e 2 per la seconda riga), analogamente quella sotto poteva essere riempita in 4 modi e per l'ultima rimaneva solamente un modo. Quindi si ha $ 4!*4*4 = 384 $
b) Indipendentemente dal dato iniziale scelto si hanno $ 3! $ riempimenti per la regione in cui si è scelto e 4 per le regioni che hanno un lato in comune con essa. Si hanno quindi $ 3!*4*4=96 $ soluzioni e dato che questo conteggio non ha mai preso in considerazione posizione o valore del dato iniziale il numero di soluzioni non dipende dal dato scelto.
c) Se si prendono due dati iniziali che non contraddicono le regole del gioco, ad esempio 1,2 nella stessa riga o 1,1 in regioni diverse e non sulla stessa riga o colonna, è sempre possibile trovare una soluzione che li contiene. La mia dimostrazione (scritta in aramaico credo) faceva leva su delle conclusioni ottenute al punto b. Inoltre la dimostrazione che essa non sia l'unica soluzione è nel fatto che posso scambiare ogni 3 con ogni 4 e ottenere una nuova soluzione (mi sto riferendo all'esempio che ho portato, ovviamente). Io ho detto che il numero di soluzioni con due dati iniziali non dipende da essi, ma la dimostrazione che ho usato è debole e probabilmente sbagliata

2)Una pulce si trova in una stanza dove ci sono soffitto, pavimento e 4 pareti. Se si trova sul soffitto o sul pavimento ha probabilità 1/5 di andare su ogni parete e probabilità 1/5 di rimanere dove fosse (quindi rispettivamente soffitto o pavimento). Mentre se si trova su una parete ha probabilità 1/5 di andare sul soffitto, 1/5 sul pavimento e 1/5 su ogni altra parete. Calcolare la probabilità che, partendo dal soffitto, dopo k mosse si trovi sul pavimento. Il testo dava un suggerimento che io non ho utilizzato, purtroppo non me lo ricordo.

Sia $ p(pav)_k $ la probabilità che si trovi sul pavimento dopo k mosse,$ p(par)_k $ che si trovi su UNA DELLE PARETI e $ p(s)_k $ che si trovi sul soffitto.
Si ha che $ p(pav)_{k} = (1/5) p(par)_{k-1} + (1/5)p(pav)_{k-1} $. Da cui segue $ p(pav)_{k} = (1/5)(1- p(s)_{k-1}) $. Ripetendo si ottiene che $ p(pav)_{k} = (1/5)(1-(1/5)(1- p(pav)_{k-2})) $. A questo punto trovare la soluzione è facile, ma io sono riuscito a sbagliare! Dovrebbe venire $ 4[ (1/25) + (1/25)^2 + ..] $ o simile.

Posterò la mia soluzione del 3 (quello dei quadrati magici) e del 5 (il geometrico) o in serata o domani. L'1 non l'ho fatto nè ho decifrato il testo. Vi avverto che la mia dimostrazione sul 5 è molto forzata, quindi non so se sia corretta. Fatemi sapere cosa pensate delle mie soluzioni, speriamo bene..

[remat7]

3) Sono dati dei quadrati n x n, le cui caselle possono essere riempite con numeri reali $ \in [0,1] $.
Un quadrato si dice magico se la somma di tutti i numeri dà 1 per ogni riga e per ogni colonna. Due quadrati si dicono magici puri se non possono essere ottenuti facendo la media aritmetica (casella per casella) di due quadrati magici distinti (ovvero che differiscono anche solo per una casella).
Dimostrare che i quadrati magici puri sono tutti e soli quelli che contengono solo 0 ed 1.
Innanzitutto si mostra che i numeri $ 0,1 $ per $ x \in [0,1] $ possono essere scritti rispettivamente come media di due 0 e di due 1. Per cui tutti i quadrati magici formati da 0 e 1 non possono essere ottenuti da due quadrati magici distinti, e quindi sono puri. Ora per dimostrare che essi sono i soli si può mostrare come, dati due quadrati magici distinti si formi sempre un quadrato magico distinto dai primi due (la dimostrazione di queste due asserzioni è banale). Da ciò si conclude che, dati due quadrati magici iniziali distinti, è possibile formare ogni altro quadrato magico tranne quelli con soli 0 ed 1. Per cui quest'ultimi sono tutti e soli i quadrati magici puri.

5) Il testo è già stato scritto.
Premetto che io e la geometria siamo due cose completamente diverse. Io ho scritto che l'area del quadrilatero è $ A= \frac{1}{2} AO* OB sin \theta + \frac{1}{2} AV*VB sin \alpha $ Dico che $ AO=OB $ per la disuguaglianza tra media geometrica e aritmetica, e per lo stesso motivo pongo $ AV=VB=\frac{L}{2} $. Ora derivo l'area e ottengo $ \alpha = \frac{\pi}{2} $ ed esprimo l'area in funzione di $ \theta $ e $ L $.

[simone256]

Ora per dimostrare che essi sono i soli si può mostrare come, dati due quadrati magici distinti si formi sempre un quadrato magico distinto dai primi due (la dimostrazione di queste due asserzioni è banale). Da ciò si conclude che, dati due quadrati magici iniziali distinti, è possibile formare ogni altro quadrato magico tranne quelli con soli 0 ed 1. Per cui quest'ultimi sono tutti e soli i quadrati magici puri.

Secondo me quell' "ogni" è un po' poco in regalo! Credo che dimostrare sta parola fosse il compito più arduo di tutte e due le giornate di test!