Una successione $x_1,x_2,\ldots$ è definita come $x_1=1$ e poi per ricorrenza $x_{2k}=-x_k$ e $x_{2k-1}=(-1)^{k+1}x_k$ per ogni $k\geq1$. Dimostrare che $x_1+x_2+\ldots+x_n\geq0$ per ogni $n\geq1$.
Sbaglio o il livello è inferiore a quello di un normale SL 4?
Testo nascosto:
Dimostriamo la tesi per induzione (estesa) su $n$, distinguendo i casi $n$ pari e $n$ dispari.
Il passo base è banale. Supponiamo ora che $\sum_{i = 1}^j \ge 0$ per $j = 1, \: \cdots, \: n - 1$.
$k$ pari è più interessante. Ponendo $k = 2h$, il RHS di $(\star)$ si riscrive come
$$-2\sum_{i = 1}^h x_{2i} + x_{2h + 1} = 2\sum_{i = 1}^h x_i + x_{2h + 1}$$
Se $h$ è dispari, $\sum_{i = 1}^h x_i$ ha un numero dispari di addendi dispari, e quindi, essendo non negativa (ipotesi induttiva) è $\ge 1$, dunque vale la tesi. Poniamo ora $h = 2\ell$ e supponiamo che $\sum_{i = 1}^h x_i = 0$ (altrimenti come prima). Poiché (sempre per ipotesi induttiva, dato che $h + 1 = \frac{n - 1}{4} + 1 < n$) anche $\sum_{i = 1}^{h + 1} x_i \ge 0$, si ha $x_{h + 1} = 1$. Ma allora
$$x_{2h + 1} = x_{2(2\ell + 1) - 1} = (-1)^{2\ell + 2}x_{2\ell + 1} = x_{h + 1} = 1$$
Dunque $2\displaystyle \sum_{i = 1}^h x_i + x_{2h + 1} = 0 + 1 \ge 0$. Questo conclude.
No boh, è che solitamente tra i problemi delle shortlist dal 3/4 in su vengono scelti gli IMO 2/5 e 3/6, mentre questo l'avrei visto bene come un 1/4... Poi ovviamente è anche abbastanza soggettiva la cosa.
