Dubbio domenicale!

[EELST]

Buona domenica a tutti!
Premetto che sono uno studente di 4 liceo, quindi non ho conoscenze approfondite dell'argomento e mi sono avvicinato da poco all'ipotesi del continuo e ai limiti.
Ma mi è sorto un dubbio atroce: durante una lezione, anticipando gli argomenti di 5, è venuto fuori che , [math]lim_{m \to \infty}{\frac{m^2}{m}}=m quindi a [math]\infty, perché il numeratore cresce più velocemente del denominatore. Ma secondo l'ipotesi del continuo [math]{\aleph_0}^2<\aleph_1 e quindi [math]{\aleph_0}^2 =\aleph_0. E quindi nel limite di prima il numeratore sarebbe pari a m e quindi la frazione uguale a 1.
Sono sicuro che ci sia un errore perché non penso di aver confutato né i limiti, né l'ipotesi del continuo.
Sbaglio nel considerare [math]\aleph_0 il valore che assume m (in teoria se assumo [math]\aleph_1 è lo stesso ragionamento con gli indici shiftati di 1), o nel mescolare limiti e ipotesi del continuo ??
Ho chiesto anche al mio prof, ma non ha saputo darmi una spiegazione di questa contraddizione.
Spero che qualcuno abbia la pazienza di rispondermi!

[<enigma>]

Che $\aleph_0^2=\aleph_0$ non c'entra nulla con l'ipotesi del continuo ma semmai con l'assioma della scelta. Comunque, quel che stai facendo è sostanzialmente sostituire il valore a cui tende $m$ al posto di $m$ nel limite: dici "in $\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty}\frac{m^2}{m}$, sostituisco dentro $m=\infty$ e poiché $\infty^2=\infty$ viene $1$". Perché è sbagliato? Perché nessuno ti dice che puoi trattare $\infty$ come se fosse un normale numero reale, e infatti non puoi (se provi a dimostrarlo incapperai in grossi ostacoli). Nessuno ti dice neanche che puoi semplicemente sbattere nell'espressione il valore cui tende la variabile libera, falso anche questo. Sostituire il valore a cui tende $m$ nel limite a volte dà risultati giusti, come in $\displaystyle \lim_{m\rightarrow 1}(2m+3)$, ma spesso no-e sono quelli i casi in cui serve veramente poter calcolare il limite!

[Kopernik]

Ci sono degli argomenti che è possibile studiare da soli, e altri assolutamente sconsigliabili. I limiti rientrano nel secondo caso, perché è particolarmente facile sbagliare se non si è capito bene cosa ci sta sotto. Gli infiniti di cui stai parlando tu sono "quantità che crescono al crescere di [math]m"; ma quando [math]m cresce, [math]m^2 cresce molto più rapidamente. Il risultato è che la frazione [math]\frac{m^2}{m} cresce indefinitamente al crescere di [math]m, e quindi tende a più infinito.
In realtà tu non stai studiando dei veri infiniti, ma stai esaminando l'andamento di crescita di oggetti diversi quando [math]m cresce. Questo si può fare perché l'insieme dei reali è continuo, ma aleph, in buona sostanza, non c'entra con [math]m o [math]m^2.

[EELST]

Ok, grazie mille ad entrambi!
@Kopernik: hai ragione, meglio se mi guardo i limiti con qualcuno o semplicemente aspetto di farli a scuola

[<enigma>]

Il tutto lascia ancora aperto un dubbio inquietante: il tuo prof la laurea l'ha trovata nel sacchetto delle patatine, o non c'aveva cazzi di risponderti?

[EvaristeG]

Il tutto lascia ancora aperto un dubbio inquietante: il tuo prof la laurea l'ha trovata nel sacchetto delle patatine, o non c'aveva cazzi di risponderti?

Fa' il bravo, polemicone...

[Giulia 400]

Il tutto lascia ancora aperto un dubbio inquietante: il tuo prof la laurea l'ha trovata nel sacchetto delle patatine, o non c'aveva cazzi di risponderti?

Esistono anche prof a cui non piace molto ricevere domande al di fuori dell'ordinario programma scolastico o che vedono male chi approfondisce...(nella mia ex-scuola ce n'era qualcuno di entrambi i tipi, spero sia solo un caso particolare!)