Isola di Cavalieri e Furfanti

[gabrimoros 1]

Nell'isola dei furfanti e dei cavalieri, gli abitanti si dividono in due categorie: i furfanti che mentono sempre, e i cavalieri che dicono sempre la verità.
Quando furono annunciate le elezioni presidenziali c'erano $n$ $\ge$ $3$ candidati, tutti autoctoni.
Durante un dibattito televisivo tutti i candidati, a turno, si presentatono. Il $k$-esimo candidato disse:"Tra tutti i candidati, me escluso, ci sono $k$ furfanti più che cavalieri"
Quanti candidati c'erano?

Non so quale sia il livello ma non riesco a risolverlo, mi date una mano?

[fph]

Considera due candidati cavalieri -- è possibile che facciano due affermazioni diverse?

[gabrimoros 1]

Sono un po'in difficoltà perché non capisco bene cosa possa significare $k$-esimo a questo punto...

Comunque la mia prima interpretazione era che $k$ significasse un numero generico di $n$, quindi dividendo in due casi abbiamo:

1)Che il $k$-esimo candidato sia un cavaliere e quindi abbiamo $n-1=2C+k$ da cui non possiamo trovare $n$;

2)Che il $k$-esimo candidato sia un furfante quindi, non sappiamo nulla.

La seconda mi è venuta leggendo la tua domanda-suggerimento, quindi pensando che ogni candidato facesse la stessa affermazione:

1)Se il primo candidato è un cavaliere e dice quella frase, poi altri cavalieri possono ridirla (per rispondere alla tua domanda) perché il cavaliere "b" nel dire la frase toglie dal conteggio dei cavalieri fatto dal cavaliere "a" se stesso, e aggiunge il cavaliere "a" facendo rimanere immutato il conteggio; ma comunque dato che i cavalieri dicono la verità, ci sarà prima o poi un furfante che dirà la stessa frase dei cavalieri, e qua cadiamo nell'assurdo;

2)Ci può essere poi il caso che tutti i candidati che dicono quella frase siano furfanti, ma a questo punto non possiamo determinare $n$.

O la risposta è il classico "non ci sono dati a sufficienza" o molto più probabilmente mi sfugge qualcosa...

[Gerald Lambeau]

Penso che sia da interpretare come:
il primo dice <<Senza contare me, i furfanti sono uno più dei cavalieri>>
il secondo dice <<Senza contare me, i furfanti sono due più dei cavalieri>>
$\vdots$
l'$(n-1)$-esimo dice <<Senza contare me, i furfanti sono $n-1$ più dei cavalieri>>
l'$n$-esimo dice <<Senza contare me, i furfanti sono $n$ più dei cavalieri>>.

Testo nascosto:

Come ha suggerito fph, se $a$ è il numero di furfanti e $b$ è il numero di cavalieri allora un cavaliere dirà per forza
<<Senza contare me, i furfanti sono $a-(b-1)$ più dei cavalieri>>. Dato che fanno tutti affermazioni diverse, ne deduciamo che c'è al più un cavaliere.
Inoltre, supponiamo siano tutti furfanti, allora l'$(n-1)$-esimo dirà <<Senza contare me, i furfanti sono $n-1$ più dei cavalieri>>, che però è vero, assurdo, quindi c'è esattamente un cavaliere.
Senza contare questo cavaliere, i furfanti sono $n-1$ in più dei cavalieri, quindi lui è l'$(n-1)$-esimo candidato.
Osserviamo ora l'$(n-3)$-esimo candidato (furfante): dirà <<Senza contare me, i furfanti sono $n-3$ più dei cavalieri>>, ma i furfanti, senza contare lui, sono proprio $n-2-1=n-3$ più dei cavalieri, e quindi deve essere un cavaliere, assurdo.
Se ne deduce che l'$(n-3)$-esimo candidato non esiste $\Rightarrow n-3 \le 0 \Rightarrow n \le 3 \Rightarrow 3 \le n \le 3 \Rightarrow n=3$.
Con tre candidati il primo furfante, il secondo cavaliere e il terzo furfante funziona, quindi $n=3$.

[remat7]

Non so se sia stata già data la soluzione ma voglio provarci senza leggere nulla:
1.C'è necessariamente almeno 1 cavaliere, poichè altrimenti l'$ (n-1) $-esimo furfante direbbe la verità, cosa ovviamente impossibile.
2. Il numero dei cavalieri è $ <2 $, perchè due cavalieri dovrebbero dire la stessa cosa.
Per cui si ottiene $ C=1 $, dove C è molto fantasiosamente il numero dei cavalieri candidati e $ F=n-1 $, dove F è altrettanto molto fantasiosamente il numero dei furfanti.
3. Il cavaliere parla quindi per $ (n-1) $-esimo
4. Ora osserviamo l'affermazione dell'ipotetico $ (n-3) $-esimo candidato. Egli direbbe che escluso se stesso ci sono $ (n-3) $ furfanti in più rispetto ai cavalieri. Ma questa sarebbe una verità, per cui non può esistere il $ (n-3) $-esimo candidato, per cui $ n\leq3 $ e dato che per ipotesi $ n\geq3 $ si ottiene che $ n=3 $

[gabrimoros 1]

Ho capito Grazie mille a tutti per le risposte!