190. Boh viene dal PEN

[scambret]

Sia $p_i$ il $i$-esimo numero primo. Allora per ogni $n \geq 3$ mostrare che

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k^2} + \frac{1}{p_1p_2...p_n} < \frac{1}{2}$$

Ho trovato la soluzione brutale, sono rimasto allucinato da quella "elementare". Spero la troviate

[erFuricksen]

$\frac{1}{p_1p_2...p_n}$ è fuori dalla sommatoria, giusto?

[matpro98]

Sì

[erFuricksen]

Beh la disuguaglianza è bella larga, in realtà io l'ho fatta in un modo abbastanza brutale anche io mi dispiace!
Spero sia giusta:

Testo nascosto:

Se $n=3$ posso vedere facilmente che la disuguaglianza è verificata.
Per $n > 3$ invece, per la disuguaglianza di Bonse posso dire che ${1 \over {p_1 ... p_n}} < {1 \over {p_{n+1} ^2}}$, quindi
$$LHS < \sum_{k=1}^{n+1} {1 \over {p_k^2}}$$ quindi mi basterebbe dimostrare che $$S= \sum_{k=1}^{\infty} {1 \over {p_k^2}} \le {1 \over 2}$$
Tuttavia posso scrivere che $S=(\zeta (2)-1)-(\zeta (2)-1-S)$ , ma $\zeta (2)-1-S ={1 \over 4^2}+{1 \over 6^2}+{1 \over 8^2}+{1 \over 9^2}+... > {1 \over 4} (\zeta (2) -1 )$ . Quindi vale che $S=(\zeta (2)-1)-(\zeta (2)-1-S)<{3 \over 4}( \zeta (2)-1)={3 \over 4}({\pi^2 \over 6}-1)< {1 \over 2}$ , perciò $LHS<S<{1 \over 2}$

[gpzes]

Beh--allora puoi anche non usare Bonse se usi ZetaRiemann(2) convergente..a parte che Bonse vale per $ n\ge{5}$..

[erFuricksen]

Si è vero, ma mentre la risolvevo mi è venuto in mente dopo di farlo, e Bonse l'avevo già usato, quindi ho deciso di lasciare tutto così com'era
E poi mi ha aiutato a rendere i passaggi più chiari

PS: comunque $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 =210>121=11^2$

[gpzes]

ok.. $n\ge {4}$ nel caso n+1..Ci sarà metodo che non usa convergenza?!? (ossia senza usare Basel Problem?)https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem

Testo nascosto:

Si

[scambret]

Ma soprattutto, si può fare anche senza Riemann?

Testo nascosto:

Risposta: si, ed è molto più istruttiva e anche il motivo per cui ho messo questo problema per la staffetta

[gpzes]

Ma sei un Diavolo scambret ...
qua ne sapevo una ma aspettavo quota 500..magari ti dico in MP

[gpzes]

"Ogni promessa è debito"
1° hint:

Testo nascosto:

Vediamo LHS come una successione: ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in \mathbb{N}}}=(\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{p}_{i}}^{2}}}+\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^{n}{{{p}_{i}}}})$.
Cosa si può dire sul sua andamento? È crescente, decrescente, alternante o nested (incapsulata)?

[scambret]

Comunque dato che qualcuno l'ha risolto, passate anche oltre.

[Saro00]

Qualcuno che posti il nuovo problema?