82. Coniugati Isogonali

[LucaMac]

non è standard ma:
Sia $ABC$ un triangolo. $P,P'$ E $Q,Q'$ due coppie di coniugati isogonali.
$X$ l'intersezione tra $PQ$ e $P'Q'$. $Y$ tra $PQ'$ e $P'Q$ .
a) dimostrare che $X$ e $Y$ sono coniugati isogonali in $ABC$.
b) dimostrare che $Y$ si trova sulla circumconica di $ABCPQ$.

[Kepler97]

Probabilmente la parte a) si fa anche in baricentriche con un po' di conti, la parte b) non credo o almeno non io

[Kfp]

Non ti sbocco per pietà

[fph]

"probabilmente viene in baricentriche con un po' di conti" è un'affermazione che si può applicare a tutta la sezione di geometria del forum...

[LucaMac]

Non ti sbocco per pietà

Sbocco?

[D.S.R.]

Non ti sbocco per pietà

Sbocco?

Si legga "vomito".

[Talete]

Oh che bello un problema che viene semplice con le baricentriche.

Formule che do per scontate:
• coniugato isogonale di un punto
• retta per due punti
• intersezione di due rette
• conica generica

Scelgo $p$, $q$ ed $r$ tali che
\[P=[ap:bq:cr].\]

Quindi si avrà che:
\[P'=[a/p:b/q:c/r]=[aqr:brp:cpq]\]

E ora scelgo $s$, $t$ ed $u$ tali che
\[Q=[as:bt:cu].\]

E dunque:
\[Q'=[a/s:b/t:c/u]=[atucst].\]

Facendo la retta passante per $P$ e per $Q$ dovrebbe venire questa bellissima (be', parliamone...) formula:
\[(qu-rt)bcx+(rs-pu)cay+(pt-qs)abz=0.\]

Mentre facendo la retta passante per $P'$ e per $Q'$ viene questa:
\[(qu-rt)psbcx+(rs-pu)qtcay+(pt-qs)ruabz=0.\]

Non ancora soddisfatto, decido di intersecare queste due rette per trovare (o almeno credere di trovare) il punto $X$:
\[X=[a(pt-qs)(rs-pu)(qt-ru):b(qu-rt)(pt-qs)(ru-ps):c(rs-pu)(qu-rt)(ps-qt)].\]

Che bello! Ora faccio la retta passante per $P$ e per $Q'$...
\[(qt-ru)bcsx+(ru-ps)caty+(ps-qt)abuz=0.\]

...e quella passante per $P'$ e per $Q$!
\[(qt-ru)bcpx+(ru-ps)caqy+(ps-qt)abrz=0.\]

Ed ora intersechiamole per trovare $Y$!
\[Y=[a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu):b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs):c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)].\]

Boh, ho trovato un punto a caso, che dite, ne facciamo il coniugato isogonale?
\[Y'=\left[\frac{a}{(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu)}:\frac{b}{(ps-qt)(qt-tu)(pu-rs)}:\frac{c}{(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)}\right].\]

E per casualità trovo, semplificando i denominatori:
\[Y'=[a(qt-tu)(pu-rs)(sq-pt):b(ru-ps)(tr-qu)(sq-pt):c(ps-qt)(tr-qu)(pu-rs).\]

Ma questo è proprio $X$! Che combinazione! Ora prendo sei lettere a caso $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ e $j$ e faccio una conica $\Gamma$:
\[\Gamma: dx^2+ey^2+fz^2+gxy+hyz+izx=0.\]

Ora faccio passare questa conica per $A$, per $B$ e per $C$: ciò comporta $d=e=f=0$. Ora facciamola passare per $P$:
\[abpqg+bcqrh+carpi=0.\]

Con $carpi$ intendo il prodotto di $c\cdot a\cdot r\cdot p\cdot i$, non l'omonima città Bene, ora facciamo passare la bellissima conica per $Q$:
\[abstg+bctuh+causi=0.\]

Adesso che abbiamo queste due equazioni, possiamo trovare la terna omogenea $[g:h:i]$.
\[[g:h:i]=[cru(qs-pt):aps(rt-qu):bqt(pu-rs)].\]

Dunque la conica è:
\[\Gamma: cru(qs-pt)xy+aps(rt-qu)yz+bqt(pu-rs)zx=0.\]

Ora con molta felicità sostituisco a $[x:y:z]$ le coordinate di $Y$ e guardo cosa succede:
\[cru(qs-pt)a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu)b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)+aps(rt-qu)b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)+bqt(pu-rs)c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu).\]

Da questa roba così brutta da non starci neanche sulla pagina si raccolgono dei fattori comuni:
\[abc(tr-qu)(ru-ps)(qs-pt)(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)[ru(ps-qt)+ps(qt-ru)+qt(ru-ps)].\]

Ora nella parentesi quadra non posso fare altro che svolgere i prodotti e sperare nel meglio...
\[abc(tr-qu)(ru-ps)(qs-pt)(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)[rups-ruqt+qtps-rups+ruqt-qtps].\]

E incredibilmente, quando tutto pareva ormai perduto... questa cosa fa zero.

Presumo di non aver sbagliato i conti, dato che il risultato è quello desiderato. Se però ci sono dei passaggi loschi o devo dimostrare le quattro formule che ho dato per scontate, sono disposto a farlo

Che ve ne pare?

[LucaMac]

Direi che ci sta! Ed era la soluzione voluta (cioè ho usato $P=(p,q,r)$ io e non ho calcolato le rette $PQ'$ e $P'Q$ perché $Y$ segue da $X$ per analogia, ma vabbè!
Puoi andare con il prossimo!

[Mountains Drew]

ecco il modo saggio per affrontare i conti in baricentriche

Testo nascosto:

- prendi un computer
- installa bary per python
- fai lavorare il computer al posto tuo...

Codice: Seleziona tutto

In[1]: from sympy import *; from bary.default import *

In[2]: r,s,t,u,v,w = sympy.symbols('r s t u v w', real=True)

In[3]: P=Point(r,s,t); P
Out[3]: (r : s : t)

In[4]: Q=Point(u,v,w); Q
Out[4]: (u : v : w)

In[5]: Pi=isogonal(P); Pi
Out[5]: (a**2*s*t : b**2*r*t : c**2*r*s)

In[6]: Qi=isogonal(Q); Qi
Out[6]: (a**2*v*w : b**2*u*w : c**2*u*v)

In[7]: X=intersect(line_through_two_points(P,Q),line_through_two_points(Pi,Qi))[0]; X
Out[7]: (a**2*(r*v - s*u)*(r*w - t*u)*(-b**2*t*w + c**2*s*v) : b**2*(r*v - s*u)*(s*w - t*v)*(-a**2*t*w + c**2*r*u) : c**2*(r*w - t*u)*(s*w - t*v)*(-a**2*s*v + b**2*r*u))

In[8]: Y=intersect(line_through_two_points(P,Qi),line_through_two_points(Pi,Q))[0]; Y
Out[8]: ((s*w - t*v)*(-a**2*s*v + b**2*r*u)*(-a**2*t*w + c**2*r*u) : (r*w - t*u)*(-a**2*s*v + b**2*r*u)*(-b**2*t*w + c**2*s*v) : (r*v - s*u)*(-a**2*t*w + c**2*r*u)*(-b**2*t*w + c**2*s*v))

In[9]: is_same_point(isogonal(X),Y)
Out[9]: True

In[10]: d,e,f,g,h = sympy.symbols('d e f g h', real=True)

In[11]: def Gamma(p):
    eq = d*(area(B,C,p)/S)**2 + e*(area(C,A,p)/S)**2 + f*(area(A,B,p)/S)**2 + g*(area(B,C,p)/S)*(area(C,A,p)/S) + h*(area(C,A,p)/S)*(area(A,B,p)/S) + (area(A,B,p)/S)*(area(B,C,p)/S)
    return eq


In[12]: parametri = solve([Gamma(A),Gamma(B),Gamma(C),Gamma(P),Gamma(Q)],d,e,f,g,h); parametri
Out[12]: 
{e: 0,
 h: r*u*(-s*w + t*v)/(s*v*(r*w - t*u)),
 f: 0,
 d: 0,
 g: t*w*(-r*v + s*u)/(s*v*(r*w - t*u))}

In[13]: checksol(Gamma(Y), parametri)
Out[13]: True

(Grazie a @Delfad0r per il software )

[Talete]

Ma questo è barare!

[karlosson_sul_tetto]

Anche usare le baricentriche per fare un problema di Geometria, non corrisponde a risolvere il problema.

[Delfad0r]

Dato che oramai l'abbiamo tirata in ballo, questo sarebbe il modo giusto di usare la libreria:

Testo nascosto:

[GimmyTomas]

a) sia $r'$ il coniugato isogonale (punto per punto) della retta $PQ$ (sarà in generale una conica, qui lo do per buono) e $s'$ il coniugato isogonale della retta $PQ'$. Ragioniamo per assurdo e notiamo che dev'essere necessariamente $Y\not\in r'$ (e $X\not\in s'$): se così non fosse, il coniugato isogonale di $Y$ starebbe su $PQ$, senza coincidere con $X$, ma simmetricamente starebbe anche su $P'Q'$, dunque coinciderebbe con $X$. Allora siano $X_1$ e $X_2$ le intersezioni di $r'$ con, rispettivamente, $PQ'$ e $P'Q$ (sono unici perché $r'$ è una conica e l'altra intersezione già c'è: in un caso è $Q'$, nell'altro $P'$). Analogamente, siano $Y_1$ e $Y_2$ le intersezioni di $s'$ con $PQ$ e $P'Q$.
Guardiamo $PQ'$ e $r'$. Le loro intersezioni sono $Q'$ e $X_1$. Le intersezioni dei loro coniugati isogonali, cioè $s'$ e $PQ$, sono $Q$ e $Y_1$. Quindi $X_1$ e $Y_1$ sono coniugati isogonali.
Allo stesso modo, anche $X_2$ e $Y_2$ sono coniugati isogonali. Ma allora dev'essere $Y_2\in PQ$, perché il suo coniugato isogonale $X_2$ sta su $r'$. Dunque $Y_1$ e $Y_2$ sono entrambi su $PQ$, il che vuol dire che coincidono.

b) basta notare che la circumconica di $ABCPQ$ è la coniugata isogonale della retta $P'Q'$: infatti quest'ultima interseca tutti i lati e passa per $P'$ e $Q'$, quindi la sua coniugata isogonale deve passare per i tre vertici e passare per $P$ e $Q$. Poiché $P'Q'$ contiene $X$, la circumconica conterrà dunque il suo coniugato isogonale $Y$.

[EvaristeG]

Beh, ora, che il coniugato isogonale di una circumconica sia una retta... è un'affermazione che senza baricentriche è complicata da dimostrare!

[GimmyTomas]

Ehh, lo so! In baricentriche la dimostrazione è immediata (in realtà del contrario, cioè che retta --> conica, no? l'altra freccia mi sa che è falsa!)...
Però non volevo "sporcare" la sintetica! Anche se, forse, in questo caso farlo è il modo più breve per concludere comunque senza fare conti.
Per curiosità, c'è una dimostrazione sintetica di questo fatto?

[edit: non avevo letto "circum"conica ]