In realtà questa era la mia prima soluzione, ma poi avevo provato a semplificarla, sbagliando
Anche qui possiamo considerare un qualunque $p_{n+1}$ successivo.
Allora, possiamo scrivere che $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =\prod_{d \mid a} \Phi_{2 p_{n+1} d} (2)=q^k$$
Sia perciò $x$ un primo che divide $a$, allora vale che $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) =q^{\alpha} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)=q^{\beta}$$
Tuttavia $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) = {{2^{p_{n+1}}+1} \over 3} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)={{3(2^{p_{n+1}x}+1)} \over {(2^x +1)(2^{p_{n+1}}+1)}}$$
Quindi Posso fare $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) \cdot \Phi_{2 p_{n+1} x} (2) ={{2^{p_{n+1} x}+1} \over {2^x+1}}=q^{\alpha + \beta}$$
Ma per il lemma del guadagno di un primo quest'ultima cosa contiene almeno un fattore primo che non è contenuto in ${2^x+1} \over 3$, quindi non possono essere entrambi potenze di $q$.
Probabilmente c'era una via più diretta per farlo ma avevo paura di perdermi da qualche parte quindi ho fatto il giro lungo (sperando che almeno 'sta volta sia giusto).