TI Senior 2015 — Problema 01 (min di somma di radici)

[Talete]

Boh, non sapevo come dare il titolo... comunque il problema ufficiale è questo. Sia data $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tale che:

\[f(x)=\sqrt{x^2-4x+13}+\sqrt{x^2-14x+130}.\]

Detto $m$ il minimo valore assunto dalla funzione, quanto vale $m$? La risposta giusta era $13$. Il problema che vi pongo ora è una generalizzazione. Sia data $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tale che:

\[f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b^2}+\sqrt{(x-c)^2+d^2}.\]

Detto $m$ il minimo valore assunto dalla funzione, trovare le formule che al variare di $(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4$ diano:
• l'insieme dei punti $x_0$ tali che $f(x_0)=m$... detto in altre parole, la controimmagine di $\{m\}$, cioè $f^{-1}(\{m\})$;
• il valore $m$.

La mia soluzione è brutale, ma credo ce ne siano di più fini... ah, il problema originale era con $(a,b,c,d)=(2,3,7,9)$, se non l'avevate notato

[erFuricksen]

Provo:

Testo nascosto:

Immaginiamo la seguente funzione come la somma di due segmenti $AO$ e $BO$ in un piano cartesiano tali che uno dei loro punti sia posto nell'origine e l'altro abbia coordinate $A (x-a,b)$ e $B (x-c, -d)$. Allora vediamo facilmente che al variare di $x$ il segmento $AB$ risulta traslato orizzontalmente ma la distanza fra $A$ e $B$ e l'orientamento del segmento rimangono invariati, perché la differenza fra le coordinate di $A$ e $B$ è costante. Se consideriamo il triangolo $\triangle AOB$ allora $f(x)=AO+BO \ge AB$ per la disuguaglianza triangolare. Quindi il minimo della funzione sarà assunto quando il triangolo è degenere, ovvero quando $AB$ passa per l'origine, e questo è possibile perché al variare di $x$ il segmento $ AB$ viene traslato orizzontalmente con continuità. Quindi $m=AB=\sqrt{(a-c)^2+(b+d)^2}$. Per sapere poi il valore di $x_0$ ci basta fare una similitudine fra i triangoli rettangoli di ipotenuse $AB$ e $AO$ (ad esempio).

[gpzes]

..non saprei...il punto appartiene all'asse delle ascisse e AB é fisso....é il classico problema di Erone...

[Talete]

Il risultato mi sembra giusto, ma il mio procedimento è più algebrico-analitico che geometrico, quindi sulla soluzione non so dirti... ad esempio, io ho trovato prima il punto di minimo e solo in seguito ne ho calcolato il valore di $f$. Se volete la posto, quando ho un po' di più tempo per scriverla...

[fph]

La soluzione di erFuricksen mi sembra impeccabile. Forse è più chiara da leggere se uno tiene fermo tutta la figura e sposta solo il punto $O$ invece che come l'ha spiegata lui spostando tutta la figura.

È uno di quei problemi che ti fa imbestialire perché provi conti e Cauchy-Schwarz e solo poi vedi quest'idea semplicissima che funziona; ci sono passato anch'io al tempo provando a farlo.

[Talete]

Ahahah ecco, forse così ho capito... certo, molto più comoda quest'idea del miliardo di conti che ho fatto io Grazie

[Drago96]

Usando mezzi un po' più potenti, ricicliamo il solito fatto sul gradiente della distanza...
Ovvero fissato un punto $P$ e prendendo la funzione $f(X)=\text{dist}(XP)$, il suo gradiente è un vettore di lunghezza $1$, sulla retta $XP$ e con verso che va da $P$ a $X$.
Prendendo allora i punti $A=(a,b),B=(c,-d),X=(x,0)$ (o analoghi in modo che $A$ e $B$ stiano dalla parte opposta dell'asse $y$), ho due funzioni distanza che sto sommando, e il gradiente della somma è la somma dei gradienti.
So inoltre che in un punto di minimo il gradiente è nullo (o perpendicolare al vincolo che è l'asse delle $y$); ma l'unico modo per cui due vettori di lunghezza uguale sommino a $0$ è che siano opposti, cioè che $X$ stia sulla retta $AB$.
Il che è circa l'idea di fph di spostare $O$ invece che tutto il segmento.
(osservazione furba: cosa sarebbe successo se avessi messo i due punti dalla stessa parte del piano? )

[fph]

Esatto - o, semplicemente, la spezzata AXB più corta che congiunge $A=(a,b)$ e $B=(c,-d)$ tagliando l'asse delle ascisse da qualche parte in $X=(x,0)$ è un segmento. Nel problema originale la distanza tra $A$ e $B$ si calcola con la terna pitagorica 5-12-13. E il problema è finito qui (se uno capisce il trucco, cosa non banale).