Divisori di un fattoriale

[D.S.R.]

Esercizio a2006t8

[math]\text{Quanti divisori positivi ha $6!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6$? (Tra i divisori di un numero devono essere contati anche 1 e il numero stesso.)}

Più in generale
Quanti divisori positivi ha $n!$?
Ci sono anche divisori negativi? Se sì, quanti sono? Sono in numero uguale ai positivi? Se sì, sempre? Perché?
Come lavorare su questo genere di problemi?

[Gerald Lambeau]

$6!=2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$, cinque modi di scegliere l'esponente del $2$ (0, 1, 2, 3 o 4), tre modi per quello del $3$ e due per quello del $5$, in totale $5 \cdot 3 \cdot 2=30$ divisori positivi.
Ovviamente $d$ è un divisore positivo se e solo se $-d$ è un divisore negativo, quindi sì, i divisori negativi sono in numero uguale ai positivi.
Per quanto riguarda $n!$ bisognerebbe, per ogni primo $p \le n$, usare la formula per determinare il $\max a$ tale che $p^a \mid n!$ che è $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor\frac{n}{p^i}\right\rfloor$.
Generalizzando ulteriormente, se $n=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_n^{a_n}$, allora il numero di divisori positivi di $n$ sono $(a_1+1)(a_2+1)\dots(a_n+1)$.
Unica eccezione $0$ che, ovviamente, è diviso da ogni intero non nullo.
Per quanto riguarda come lavorare su questo genere di problemi non ti so dire, non ne ho affrontati tanti, quello che ho scritto ora sono proprio le basi di questa tipologia di problemi.

EDIT: corretta la formula
EDIT 2-3: minuzie estetiche

[GimmyTomas]

Ho letto molto velocemente il problema e il messaggio di Gerald Lambeau: forse potrebbe essere carina da sapere, per questo genere di problemi, la formuletta (che non è neanche difficile da dimostrare) $ \displaystyle v_p(n!)=\frac{n-(n_0+\ldots+n_k)}{p-1} $, dove $ n_0,\ldots,n_k $ sono le cifre di $n$ in base $p$.

[D.S.R.]

Ha un nome specifico quella formula?

[GimmyTomas]

Mi sembra sia dovuta a Legendre (quindi "formula di Legendre"?), ma non ci giurerei.

[D.S.R.]

Ho capito. Beh, c'è anche da dire che scegliendo a caso tra: Fibonacci, Fermat, Gauss, Eulero, Legendre, Riemann, Dirichlet; hai una ottima possibilità di prenderci

[Talete]

A quanto sapevo io era Legendre-De Polignac il nome

E comunque vi siete dimenticati almeno Cauchy ed Erdős, anche loro ne hanno ben tanti di teoremi

[D.S.R.]

Chiedo venia, sono nuovo del settore, ma mi sta piacendo parecchio!

[Gottinger95]

@Gerald Lambeau: Attenzione, la formula per la valutazione $p$-adica dei fattoriali è
$$ \sum_{k \ge 1} \left \lfloor \frac{n}{p^k} \right \rfloor $$
Non c'è $n!$ al numeratore! E infatti vale solo per il fattoriale, per un numero qualsiasi non c'è una formula 'analitica' che dipenda solo da quanto è grande $n$. Questo intuitivamente lo puoi vedere così: non è detto che due numeri molto vicini abbiano valutazione pi-adica vicina (ad esempio $v_p(p^n) = n, v_p(p^n+1) = 0$).

[Gerald Lambeau]

Grazie della correzione, non me ne ero proprio accorto
Correggo subito