Una scatola è posta su un piatto di una bilancia il cui indice è zero quando la scatola è vuota. Delle particelle vengono fatte cadere dentro la scatola da un'altezza $ h $ dal fondo della scatola alla velocità di $ \mu $ particelle per secondo. Ciascuna particella ha una massa $ m $.
1) Se l'urto tra le particelle e la scatola è completamente anelastico, trovare quanto segna l'indice della bilancia dopo un tempo $ t $ da quando le particelle hanno incominciato a riempire la scatola. Determinare il valore numerico con $ \mu=100 s^-1 $; $ h=1,0 m $; $ m=5 g $ e $ t=10 s $.
2) Se le collisioni tra le particelle e la scatola sono elastiche, cioè le particelle rimbalzano verso l'alto con la stessa velocità, quale sarà la lettura della bilancia? Determinare il valore numerico con $ \mu=32 s^-1 $; $ h=2,7 m $; e $ m=110 g $.
Mi è stata proposta una soluzione che però non mi convince del tutto.
Soluzione proposta
Il valore segnato dalla bilancia è la somma di due contributi. Il primo è quello dovuto al peso dele particelle accumulate all'interno della scatola nell'istante t ovvero:
$ \displaystyle P_1=\frac {dn}{dt}mgt=\mu mgt $ dove $ \displaystyle \mu= \frac {dn}{dt} $
Il secondo contributo è dato dal fatto che la sabbia, cadendo da un' altezza h ha acquisito una certa velocità e, poiché avviene un urto perfettamente anaelastico, le particelle si fermano completamente. Le particelle sono quindi soggette ad una forza diretta verso l'alto e per il III principio della dinamica, la bilancia è soggetta ad una forza equivalente di verso opposto che ha l'effetto di aumentare la lettura della bilancia.
Tale forza vale:
$ \displaystyle P_2=\frac {dp}{dt}=\frac {d\left (mv\right)}{dt}=\frac {dm}{dt}v+ \frac {dv}{dt}m=\frac {dn}{dt}mv=\mu mv $
Il passaggio $ \displaystyle \frac {dm}{dt}v+ \frac {dv}{dt}m=\frac {dn}{dt}mv \quad (1) $ è stato spiegato così:
Contiamo la variazione della quantità di moto l'istante prima che le particelle colpiscano la scatola, considerando $ v $ Una costante. In questo modo puoi dire:
$ \frac {dv}{dt}m=0 $
Invece la massa delle particelle che collidono e si fermano sulla scatola non è una costante ma dipende dal tempo.
La soluzione è convincente, ma c'è un aspetto di cui io non sono convinto ed è l'ultimo passaggio. Infatti, mi pare che non si possa dire che le particelle che colpiscono la scatola hanno una $ v $ costante!
Piuttosto mi pare si possa dire che nella formula $ (1) $ il simbolo $ = $ andrebbe sostituito con $ \approx $ perchè il valore di $ \displaystyle \frac {dv}{dt}m $ è trascurabile a causa del valore piccolo di $ m $.
PER FAVORE, QUALCUNO PUÒ AIUTARMI?