Dammi retta

[Gerald Lambeau]

Dato un punto $P$ a coordinate razionali nel piano cartesiano, determinare se è sempre possibile tracciare una retta passante per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali (ovviamente quando dico coordinate razionali intendo che sia l'ascissa che l'ordinata devono essere razionali).
BONUS: determinare se è sempre possibile tracciare infinite rette passanti per $P$ e per nessun altro punto a coordinate razionali.

[MATHia]

Metto anche la mia, che di fatto è la seconda soluzione indicata da carlotheboss:

Testo nascosto:

Sia $P(x_p,y_p)$, con $x_p$ e $y_p$ razionali, e $m\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Consideriamo la retta $r:\,\, (y-y_p)=m(x-x_p)$. Supponiamo per assurdo che esista $A(x_a,y_a)\in r$ a coordinate razionali. Allora deve valere
$$m=\frac{y_a-y_p}{x_a-x_p}\in\mathbb{Q}$$
Ma ciò è assurdo, perché $m$ è per ipotesi irrazionale. Allora non esiste alcun altro punto su $r$ a coordinate razionali, fatta eccezione per $P$.
Dunque per ogni punto a coordinate razionali è possibile tracciare una retta che soddisfi le condizioni poste. Inoltre, $m$ può assumere infiniti valori irrazionali distinti, poiché esistono infiniti numeri irrazionali, perciò per ogni $P$ a coordinate razionali è possibile tracciare infinite rette del tipo voluto.

[Gerald Lambeau]

Ok giuste!
Alternativa più semplice: si trasla la retta per far coincidere $P$ con $(0, 0)$, si nota che così non cambia la razionalità/irrazionalità di ogni punto e i conti sono semplicissimi (è $y=mx$).

[fph]

Riuscite a farlo anche con un'osservazione del tipo "i reali sono più dei razionali"?

[PIELEO13]

Riuscite a farlo anche con un'osservazione del tipo "i reali sono più dei razionali"?

Ragionando cioè sulla densità degli insiemi? E' molto interessante, come si potrebbe fare?

[fph]

No, non sulla densità, che è un'altra cosa, ma sulla cardinalità. In pratica il risultato è questo (di Cantor): non esiste una funzione suriettiva da $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$. Come potresti costruire una funzione di quel tipo supponendo falsa la tesi?