disequazione
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Siano $ x $, $ y $ e $ z $ tre numeri reali positivi t.c. $ \quad x+y+z= xy+xz+yz $
dimostrare che
$ (x+1)(y+1)(z+1) \geq 8 $
dimostrare che
$ (x+1)(y+1)(z+1) \geq 8 $
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Re: disequazione
Beh con la disuguaglianza di McLaurin sul vincolo trovi facilmente $AM \ge 1$ Quindi svolgendo la tesi ti riconduci a dover dimostrare $xyz \ge 1$ che viene facilmente per bunching su $(x+y+z)^3$
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
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Re: disequazione
... salvo che $xyz \geq 1$ è falso, almeno se non mi sbaglio: prendi $x=y=2$ e $z=0$. Sta proprio lì tutto il problema!
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Re: disequazione
Ma non dovevano essere positivi?darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
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Re: disequazione
Uff, ok, $z=\varepsilon$ "piccolo" e $x,y$ che rispettano quello che devono: per continuità, se $\varepsilon$ è sufficientemente vicino a zero questo darà un controesempio a $xyz \geq 1$. Comunque, visto che fate i pignoli: $x=y=19/10$ e $z=19/280$ rispettano il vincolo, ma $xyz = \frac{6859}{28000} < 1$.MATHia ha scritto:Ma non dovevano essere positivi?darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
EDIT: perché sia chiaro - la disuguaglianza è vera! E' solo la "dimostrazione" di erFuricksen che mi lascia perplesso.
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Re: disequazione
Meno male! Pensavo fosse un esercizio banale che io (caprone!) non riesco a risolvere . Invece, sembra...., non sia semplicisssimo.
Re: disequazione
Per un aiuto ben poco elegante, guarda ipotesi e tesi coi conti fatti. Simmetria dappertutto a cosa è uguale?
Testo nascosto:
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Re: disequazione
Sì scusate, confesso di averla fatta a occhio e non aver fatto i conti quindi ho invertito il segno di una disuguaglianza! Appena arrivo ad una soluzione elementare prometto di rimediare! (nel frattempo ne ho trovata una non elementare che preferirei evitare di postare per un problema così standard)
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $
Re: disequazione
Io ci ho provato, ma ad una soluzione "elementare" non riesco ad arrivarci
Non so cosa non riesco a vedere
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Re: disequazione
Quindi ancora niente che mi piacciaerFuricksen ha scritto:Ok:Testo nascosto:
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: disequazione
Beh però non è cosi da sottovalutare passare a qualcosa di tutto uguale di grado e poi conti + bunching. Anche perché i conti sono (relativamente) pochi.
Re: disequazione
Qualcuno potrebbe inserire un post con questi "conti + bunching" Grazie
Re: disequazione
Dunque, facciamo questi conti:
tutte le sommatorie indicate sono da considerarsi simmetriche, per cui scriverò $\sum$ al posto di $\sum_{sym}$. Sfruttiamo il vincolo in questo modo: da $x+y+z=xy+yz+zx$ si ricava $c:=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=1$. Essendo $c=1$, possiamo sfruttarlo per omogeneizzare la tesi, che si può riscrivere come
$$xyz+2c(xy+yz+zx)\stackrel{?}{\ge}7c^3 \iff xyz(x+y+z)^3+2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\stackrel{?}{\ge} 7(xy+yz+zx)^3 $$
Ora, il bello dell'ultima disequazione da dimostrare è che è omogenea in $x,y,z$, qunidi se facciamo i conti e scriviamo tutto in funzione di somme simmetriche, abbiamo la speranza di poter finire con Bunching. Svolgendo i conti, si trova
$$xyz(x+y+z)^3=\frac{1}{2}\sum{x^4yz}+3\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
$$2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=2\sum{x^4y^2}+2\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+16\sum{x^3y^2z}+5\sum{x^2y^2z^2}$$
$$7(xy+yz+zx)^3=\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
Dunque la tesi si può riscrivere come
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+19\sum{x^3y^2z}+6\sum{x^2y^2z^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
ossia
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\stackrel{?}{\ge}\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+2\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
Per Bunching, valgono $2\sum{x^4y^2}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+\frac{1}{2}\sum{x^3y^2z}$, $\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$, dalla cui somma segue immediatamente la tesi.
tutte le sommatorie indicate sono da considerarsi simmetriche, per cui scriverò $\sum$ al posto di $\sum_{sym}$. Sfruttiamo il vincolo in questo modo: da $x+y+z=xy+yz+zx$ si ricava $c:=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=1$. Essendo $c=1$, possiamo sfruttarlo per omogeneizzare la tesi, che si può riscrivere come
$$xyz+2c(xy+yz+zx)\stackrel{?}{\ge}7c^3 \iff xyz(x+y+z)^3+2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\stackrel{?}{\ge} 7(xy+yz+zx)^3 $$
Ora, il bello dell'ultima disequazione da dimostrare è che è omogenea in $x,y,z$, qunidi se facciamo i conti e scriviamo tutto in funzione di somme simmetriche, abbiamo la speranza di poter finire con Bunching. Svolgendo i conti, si trova
$$xyz(x+y+z)^3=\frac{1}{2}\sum{x^4yz}+3\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
$$2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=2\sum{x^4y^2}+2\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+16\sum{x^3y^2z}+5\sum{x^2y^2z^2}$$
$$7(xy+yz+zx)^3=\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
Dunque la tesi si può riscrivere come
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+19\sum{x^3y^2z}+6\sum{x^2y^2z^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
ossia
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\stackrel{?}{\ge}\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+2\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
Per Bunching, valgono $2\sum{x^4y^2}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+\frac{1}{2}\sum{x^3y^2z}$, $\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$, dalla cui somma segue immediatamente la tesi.