number teory o group teory come volete

[WindowListener]

Dimostrare che (p-1)! == -1 mod(p) con p numero primo.
<BR>
<BR>ciao.
<BR>
<BR>
<BR>

[jack202]

Detto anche teorema di Wilson...
<BR>La dimostrazione l\'ho letta un mesetto fa, ma devo confessare di
<BR>non aver afferrato il perno della dimostrazione circa i gruppi e gli anelli...
<BR>

[FrancescoVeneziano]

Per quanto ne so, il teorema di Wilson si può dimostrare così:
<BR>
<BR>Consideriamo gli interi modulo p, e cerchiamo quelli tali che x^2=1 mod p
<BR>(x+1)(x-1)=0 mod p, la legge dell’annullamento del prodotto dovrebbe valere anche qui, quindi le uniche soluzioni sono 1 e –1
<BR>
<BR>Se p è primo, ogni intero, non multiplo di p, ha un inverso modulo p, quindi per ogni a compreso tra 2 e p-2 esiste un 1/a=\\=a nello stesso intervallo.
<BR>Raggruppiamo i numeri tra 2 e p-2 a coppie col proprio inverso, eseguendo il prodotto ogni coppia si semplifica, e per risultato rimane 1; moltiplichiamo ancora per 1 e –1, ed otteniamo il teorema di Wilson
<BR>(p-1)!=-1 mod p
<BR>QED
<BR>
<BR>Mi piacerebbe conoscere la dimostrazione con la teoria dei gruppi, potreste postarla o indicarmi dove posso trovarla?
<BR>
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>

[WindowListener]

io l\'ho dimostrato in questo modo :
<BR>
<BR>poichè il gruppo dei resti mod p ( con p primo) ha necessarimente un generatore del gruppo questo lo chimiamo a .
<BR>(p-1)! mod p è allora il prodotto di tutte le potenze di a da 1 a 40 : che risulta
<BR>40*41/2 = 20*41
<BR>ora essendo il gruppo di ordine p-1 un generico numero n^p == n mod p di conseguenza il 41 all\'esponente è superfluo.
<BR>si dimostra che a^20 è di periodo 2 poichè a^20* a^20 = a^40 == 1 mod p.
<BR>ma l\'elemento di periodo 2 nel gruppo è
<BR>-1 ( o p-1 ) quindi (p-1)! == -1 mod p
<BR>
<BR>nn so se sia la dimostrazione ufficiale ma se qualcuno la conosce potrebbe postarla.
<BR>ciao

[FrancescoVeneziano]

Se mi confermi che quei 40, 41 e 20, sono in realtà p-1, p e (p-1)/2, nel caso in cui p=41, allora ci siamo, altrimenti non ho capito niente.
<BR>CaO (ossido di calcio)
<BR>

[WindowListener]

scusa sono un idiota!!!!!!
<BR>
<BR>stavo pensando ad un caso particolare
<BR>
<BR>mi riscuso !
<BR>
<BR>si ti confrermo la mia dimostrazione era per il caso di p = 41