Semifinale Cesenatico 2015 - Quesito 15

[Julito]

Ciao A Tutti,
in questa torrida estate mi stavo cimentando in un quesito che ho sbagliato in semifinale 2015 dando come risposta 47 [ risultato 67]
Ecco il testo:
"15. Degno di un ninja
Con un movimento netto delle dita, Mario deve affettare in due parti uno strano frutto a forma di icosaedro regolare.
È necessario che il taglio sia fatto lungo un piano che passa per almeno tre vertici dell’icosaedro. Quanti sono questi
piani?"
Riesco a trovare 12 pentagoni con i vertici coincidenti con i vertici dell'icosaedro, paralleli a due a due, gli spigoli formano coppie di segmenti paralleli e quindi altri 15 piani formati da quadrilateri contenenti due spigoli paralleli.
Sapendo che tutti i possibili triangoli ( non essendoci 3 punti ALLINEATI) sono (12 3)=12!/(3!9!)=220,
12 piani, che contengono i pentagoni, eliminano da quel computo ben 12 x 10 triangoli, ovvero 120,
mentre 15 piani, che contengono i quadrilateri, eliminano ben 15x4=60.
In totale ci rimarrebbero solo 12+15+(220-120-60)=67.... Ma i tagli effettuati lungo le facce sono da considerarsi utili? Da qui nasce il numero 67-20=47.
Aiutatemi, spero di essere stato più chiaro... allego nel prossimo post una figura in modo da poter ragionare tutti meglio. Grazie, si accettano pareri di ogni tipo.

[Julito]

[attachment=0]icosaedro.png[/attachment]Ecco a voi la figura per capire meglio il mio ragionamento

[mr96]

Ma i tagli effettuati lungo le facce sono da considerarsi utili?

Si. C'era stato anche un reclamo da parte di una squadra torinese, non qualificata in finale per colpa di questo quesito (era il loro jolly e valeva tanto), ma era stato respinto poiché alcune squadre avevano comunque trovato la soluzione (nonostante il testo non fosse chiarissimo).

[Julito]

Grazie.... Mi sono tolto un peso