[Cesenatico 2016 - 5] Definitivamente...

[Talete]

Sia $x_0,x_1,x_2,\ldots$ una successione di numeri razionali definita per ricorrenza nella maniera seguente: $x_0$ è un numero razionale qualunque, e, per $n\ge0$,

$x_{n+1}=\left|\frac{x_n}2-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è pari,

$x_{n+1}=\left|\frac1{x_n}-1\right|$ se il numeratore di $x_n$ è dispari,

dove per numeratore di un numero razionale si intende quello della frazione ridotta ai minimi termini. Dimostrare che per ogni valore di $x_0$:

(a) la successione contiene solo un numero finito di termini distinti tra loro;

(b) la successione contiene esattamente uno tra i numeri $0$ e $⅔$ (ovvero: o esiste un indice $k$ tale che $x_k=0$, oppure esiste un indice $m$ tale che $x_m=⅔$, ma non esistono entrambi).

[wotzu]

Se rispondo alla $(b)$ rispondo anche alla $(a)$ perché se a un certo punto della sequenza si ha che $x_k=0 \lor x_k=\frac{2}{3}$ allora da lì in poi la sequenza è periodica; il fatto che non possono comparire insieme $0$ e $\frac{2}{3}$ lo si vede dal periodo.
Per dimostrare che per ogni $x_0$ razionale si ha prima o poi un $x_m=0 \lor \frac{2}{3}$ mi viene in mente un'induzione forte del tipo :
suppongo di averlo dimostrato per tutte le frazioni(ridotte ai minimi termini) $\frac{p}{q}$ con $0\le p,q\le n$ (nel caso in cui $x_0$ è negativo parto col considerare $x_1$ che sicuramente è positivo),e per una frazione con uno fra $p,q>n$, dimostro che il più grande tra $p$ e $q$ non può crescere ma anzi dopo un certo numero di mosse decresce forzatamente. Se riesco ho finito perché mi riconduco a un razionale per cui vale l'affermazione $(b)$.
Anche se sembra vero il fatto che la frazione decresce mano a mano che procede la sequenza non riesco a dimostrarlo facilmente ,più che altro perché mi sembra che ci siano un po' di casi da trattare .
è questa la via giusta o c'è un modo più furbo/veloce per concludere?