Birapporto all'infinito?

[Rho33]

Mentre cercavo qualche quaterna di punti figa che avesse un birapporto carino (magari utile), mi è venuta in mente questa:

$$(M,P_{\infty};A,B)$$

Dove $A,B$ sono due punti su una retta, $M$ è il loro punto medio e $P_{\infty}$ è un punto all'infinito sulla retta $AB$. Se io calcolo il birapporto (segmenti orientati eh!), ottengo:

$$(M,P_{\infty};A,B)= \dfrac {AM}{AP_{\infty}}: \dfrac {BM}{BP_{\infty}} \iff \dfrac {AM}{BM} \cdot \dfrac {BP_{\infty}}{AP_{\infty}}$$

Ora, io sarei molto tentato di elidere il secondo rapporto, poiché intuitivamente $P_{\infty}$ è talmente distante dai due punti, che le due lunghezze si equivalgono (?) e quindi ottenere:

$$(M,P_{\infty};A,B)=-1$$

Ovvero, una quaterna armonica, il che credo sia molto bello! Ciò che ho scritto ha senso ? In caso, come potrei dimostrare in modo rigoroso la mia affermazione molto intuitiva?

[MATHia]

Quel che hai scritto è vero, mi pare che anche al senior medium si mostri questo fatto. L'anno scorso l'avevano mostrato utilizzando la costruzione del quarto armonico (se lo non lo conosci, dovresti trovarlo sempre nel video di G2 medium). Scegliendo due punti e il loro punto medio, il quarto armonico è l'intersezione di due rette parallele, ossia il punto all'infinito.

[EvaristeG]

Prendi un punto $X$ non sulla retta e collega i $4$ punti ad esso. Ad esempio, prendiamo un punto $X$ che appartenga all'asse di $AB$ (diverso da $M$).
Consideriamo le rette $XA$, $XB$, $XM$ e $XP_\infty$ (ovvero la parallela alla retta per $A$, $B$, $M$ passante per $X$) e calcoliamo il birapporto tra queste 4 rette, che è poi uguale al birapporto tra i $4$ punti (se vuoi per definizione, quando uno dei punti è improprio).
$$(M,P_\infty; A, B)=\sin (AXM)/\sin(AXP_\infty) : \sin(BXM)/\sin(BXP_\infty)$$
fissiamo $\angle MXA=x$, allora $\angle AXP_\infty=90^\circ-x$ e $\angle BXP_\infty=90^\circ+x$ (supponendo di aver orientato tutto nel modo giusto). Svolgendo i conti (e ricordando che gli angoli sono orientati), ottieni il risultato.

[Rho33]

Grazie mille ad entrambi per i due metodi diversi!

[fph]

Più che una dimostrazione, qui ti serve una definizione, in realtà. Cos'è il birapporto di quattro punti quando uno di essi è all'infinito? Se usi la definizione di EvaristeG, torna tutto (a patto di aver definito $XP_{\infty}$). Se usi quella con i rapporti, ti serve un caso speciale per il punto all'infinito. È vero che se "mandi al limite" il punto $P_{\infty}$ ottieni $AM/BM$, ma l'unica cosa che questo ti dice è che l'unico modo di definire il birapporto in modo che rispetti i "passaggi al limite" (se mai è possibile) è quello.

Una volta scelta la definizione, per sviluppare una teoria "da libro di testo" completamente rigorosa, bisognerebbe dimostrare i fatti e teoremi che hai visto alle lezioni, inclusa quella delle due caratterizzazioni che *non* hai preso come definizione. E se la tua definizione include un caso particolare per $P_\infty$, allora tutte le tue dimostrazioni dovranno contenere un caso particolare. Probabilmente nel senior non si dimostra tutto questo al 100% ma si bara un po', altrimenti si passerebbe il tempo a fare solo quello, che è poco utile.

(EDIT: Perché la definizione di EvaristeG sia una vera definizione serve però dimostrare che il valore del birapporto non dipende dalla retta "di appoggio" scelta, e anche qui quello con P_{\infty} potrebbe essere un caso particolare.)

[Rho33]

Quindi, se non sto dicendo grosse scemenze, per definire in modo rigoroso, dovrei dimostrare che la funzione birapporto (?) ammette limite? In caso, come?

[fph]

No. Devi definire il birapporto con un punto all'infinito come $(A,P_{\infty};C,D)= \dfrac {AC}{AD}$, o analogamente se ad essere all'infinito è uno di quegli altri, e controllare che con questa definizione valgono tutte le proprietà a cui sei abituato. Inoltre, puoi controllare anche la proprietà che $\lim_{x\to B}(A,x;C,D) = (A,B;C,D)$ --- anche se non ci sei abituato. Non è complicato, devi solo riuscire a dire che il rapporto tra gli altri due segmenti tende a 1, cosa che puoi fare usando la disuguaglianza triangolare e il fatto che $CD \ll BC, BD$.

[EvaristeG]

No no no. Allora.

1 . Il birapporto di $4$ punti allineati nel piano euclideo si definisce come
$$(A,B;C,D)=AC/CB : AD/DB$$
dove i rapporti sono con segno.

2 . Il birapporto di $4$ rette concorrenti in un punto $P$ si definisce come
$$(r,s;t,u)=\sin\angle rPt / \sin \angle sPt : \sin\angle rPu/\sin\angle sPu$$
dove gli angoli sono orientati.

Lemma: Se $r,s,t,u$ sono $4$ rette concorrenti in un punto $P$ e se $\ell$ è una quinta retta che non passa per $P$ e non è parallela a nessuna delle $4$ precedenti, allora posto $A=r\cap \ell$, $B=s\cap \ell$, $C=t\cap \ell$, $D=u\cap \ell$ si ha
$$(r,s;t,u)=(A,B;C,D)$$

Lemma equivalente: Se $A$, $B$, $C$, $D$ sono punti allineati e $P$ è un punto esterno alla retta per essi allora
$$(A,B;C,D)=(PA,PB;PC,PD)$$

Esercizio: Date $4$ rette $r,s,t,u$ concorrenti in un punto $P$, sia $\ell$ una retta parallela a $u$, ma diversa. Posto $A=r\cap \ell$, $B=s\cap \ell$, $C=t\cap\ell$, si ha $(r,s;t,u)=-AC/CB$.

Poi, per ogni fascio improprio $\mathcal{F}$ (ovvero insieme di rette parallele), "aggiungiamo" al piano euclideo un punto $X_\mathcal{F}$, detto pure lui improprio (o all'infinito), che funziona come "centro" del fascio. Cioè, date due rette $r$, $s$ di questo fascio (ovvero parallele), diciamo che esse si intersecano in $X_\mathcal{F}$ e, per ogni punto del piano $P$, $PX_\mathcal{F}$ è la retta del fascio $\mathcal{F}$ che passa per $P$ (unica, ovviamente).

Chiamiamo l'insieme di tali punti impropri retta all'infinito (chiamiamo?!? è una definizione o si può dimostrare che si comporta come una retta?).

L'unione del piano euclideo con questi punti impropri e con le regole di intersezione appena spiegate si dice piano proiettivo.


Ora, estendiamo il birapporto sul proiettivo.

(a) 3 punti euclidei ed 1 punto improprio
$(A,B;C,D_\infty)$ è per definizione $(PA,PB;PC,PD_\infty)$ per un qualsiasi $P$ nel piano (conseguenza dell'Esercizio).

(b) 4 punti impropri
Beh, questa è easy: si costruiscono le rette da un qualsiasi punto del piano ai 4 impropri e l'invarianza è conseguenza dei parallelismi.

(c) 3 rette euclidee e la retta all'infinito
si interseca con una quarta retta euclidea e si usa il punto (a).

E queste sono *definizioni*.
I teoremi serviranno (come i lemmi di prima) per dimostrare che le cose che dovrebbero essere equivalenti (ad es la costruzione del IV armonico) sono davvero equivalenti.

[Rho33]

Innanzitutto, grazie davvero per i chiarimenti e quel lungo ed interessante post (scusa per il ritardo ma non mi ero proprio accorto che qualcuno avesse risposto di nuovo ). Dimostro intanto il lemma (come hai scritto, il secondo lemma è del tutto analogo al primo).

Dimostrazione lemma: Per comodità, chiamo $\alpha$ l'angolo tra $r,s$, $\beta$ l'angolo tra $s,t$ e $\gamma$ l'angolo tra $t,u$. Si tratta soltanto di applicare il teorema dei seni ai quattro triangoli $\triangle APC, \triangle APD, \triangle BPC, \triangle BPD$. Ottengo:

$$\dfrac {AC}{PC}= \dfrac {\sin (\alpha + \beta)}{ \sin PAC}, \ \ \dfrac {AD}{PD}= \dfrac {\sin (\alpha + \beta + \gamma)}{ \sin PAC}, \ \ \dfrac {BC}{PC}= \dfrac {\sin ( \beta)}{ \sin PBC}, \ \ \dfrac {BD}{PD}= \dfrac {\sin ( \beta + \gamma)}{ \sin PBC}, \ \ $$

Ovvero, moltiplicando opportunamente e semplificando il semplificabile, ottengo:

$$\dfrac {AC \cdot BD}{BC \cdot AD}= \dfrac {\sin (\alpha + \beta) \sin (\beta + \gamma)}{ \sin (\beta) \sin (\alpha + \beta + \gamma)}$$

Sfruttando quindi la definizione di birapporto di $4$ punti e di quattro rette, segue che:

$$(A,B;C,D)=(r,s;t,u)$$

Si nota inoltre che, dipendendo soltanto dai seni degli angoli formati dalle rette, esso è invariante per proiezione (giusto?) $\Box$

Per quanto riguarda invece l'esercizio:

Soluzione esercizio: Per comodità, chiamo $\alpha$ l'angolo tra $r,s$, $\beta$ l'angolo tra $s,t$ e $\gamma$ l'angolo tra $t,u$. Grazie al parallelismo otteniamo che $\angle PBC= 180^\circ - \beta - \gamma$. Otteniamo inoltre che $\angle PAC= 180^\circ - \alpha - \beta - \gamma$ .Applicando il teorema dei seni al triangolo $\triangle PAC$ otteniamo:

$$\dfrac {\sin (\alpha + \beta)}{ \sin (180^\circ - \alpha - \beta - \gamma)}= \dfrac {\sin (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta + \gamma)}= \dfrac {AC}{PC}$$

Applicando ora il teorema dei seni al triangolo $\triangle PBC$ otteniamo:

$$\dfrac {\sin (\beta)}{ \sin (180^\circ -\beta - \gamma)}=\dfrac {\sin (\beta)}{ \sin (\beta + \gamma)}= \dfrac {BC}{PC}$$

Ma unendo le due relazioni precedenti otteniamo:

$$(r,s;t,u)= \dfrac {\sin (\alpha + \beta) \sin (\beta + \gamma)}{ \sin (\beta) \sin (\alpha + \beta + \gamma)}= \dfrac {AC}{BC}= - \dfrac {AC}{CB}$$ $\Box$

Ora, riguardo l'ultima domanda, ovvero se la retta all'infinito è davvero una retta, cosa intendi esattamente? Se essa soddisfa i postulati di Euclide? Poiché io sarei tentato di rispondere che la retta è un concetto primitivo...

Comunque, grazie davvero per questa mini-guida alla definizione di questi concetti, ora ho le idee molto più chiare

[EvaristeG]

No no no. Allora.

Questo era riferito al post prima di Rho, non a quello (legittimo!) di fph