Carino e abbastanza semplice

[AlexThirty]

$ a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_{n-1}a_n+a_na_1=0 $
Con $ a_i\in \{-1,1\} $
Dimostrare che $ 4|n $.

Ci sono varie soluzioni, ma ne ho vista una molto corta e molto più TDN delle altre che vi sfido a trovare

[Linda_]

Metto la più carina delle 2 che ho trovato:

Testo nascosto:

$n$ è pari: dato che quella somma deve far 0 e che gli $a_ia_{i+1}$ possono essere solo $1$ o $-1$, allora ci saranno tanti $1$ quanti $-1$, per cui il numero di addendi di quella somma, cioè $n$, è pari.
Consideriamo $P=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{a_ia_{i+1}}$ (con $a_{n+1}=a_1$).
Questo prodotto fa $1$ o $-1$; in particolare, detto $m$ il numero dei prodotti $a_ia_{i+1}$ uguali a $-1$ (dunque $m=\frac{n}{2}$ per quanto detto prima), $P=(-1)^m$.
Notiamo ora che si può riscrivere $P=\displaystyle\prod{a_ia_{i+1}}=\displaystyle\prod{a_i^2}$, da cui ricaviamo che $P$ non può essere $-1$ perché prodotto di quadrati. Allora $P=1$.
Ma $P=(-1)^m=1$ implica $m=\frac{n}{2}$ pari, quindi $4\mid n$.

[AlexThirty]

Metto la più carina delle 2 che ho trovato:

Testo nascosto:

$n$ è pari: dato che quella somma deve far 0 e che gli $a_ia_{i+1}$ possono essere solo $1$ o $-1$, allora ci saranno tanti $1$ quanti $-1$, per cui il numero di addendi di quella somma, cioè $n$, è pari.
Consideriamo $P=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}{a_ia_{i+1}}$ (con $a_{n+1}=a_1$).
Questo prodotto fa $1$ o $-1$; in particolare, detto $m$ il numero dei prodotti $a_ia_{i+1}$ uguali a $-1$ (dunque $m=\frac{n}{2}$ per quanto detto prima), $P=(-1)^m$.
Notiamo ora che si può riscrivere $P=\displaystyle\prod{a_ia_{i+1}}=\displaystyle\prod{a_i^2}$, da cui ricaviamo che $P$ non può essere $-1$ perché prodotto di quadrati. Allora $P=1$.
Ma $P=(-1)^m=1$ implica $m=\frac{n}{2}$ pari, quindi $4\mid n$.

Era proprio quella!
Comunque la fonte è l'Engel.

[Giovanni_98]

Ne propongo un'altra, giusto per scrivere una soluzione di tanto in tanto.

Testo nascosto:

Per prima cosa notiamo che $n$ è pari dal momento che $0 = \sum_{i=1}^n a_ia_{i+1} \equiv n \pmod 2$. Adesso notiamo che $\sum_{i=1}^n (a_i + a_{i+1})^2 = 2 n$ (S) dal momento che vale l'equazione del testo e che vale $a_i^2 = 1$. Ogni addendo della sommatoria (S) è uguale a $0$ oppure $4$, pertanto se dimostriamo che il numero di addendi $M$ uguali a $4$ presenti nella sommatoria è pari si ha che $8 \mid \sum_{i=1}^n (a_i + a_{i+1})^2 = 2n$ da cui $4 \mid n$ , cioè la tesi. Per farlo si consideri la $n-$upla $(1,1,\cdots,1)$ che ovviamente da $M$ pari, poichè lo è $n$. Ovviamente, cambiando opportunamente il valore degli $a_i$ è possibile ottenere una qualsiasi altra $n-$upla. Dimostriamo ora che dopo ogni cambiamento di un singolo $a_i$ si ha che $M$ mantiene la propria parità. Infatti, supponiamo di cambiare un $a_i$ da $1$ a $-1$ (ovviamente non si terrà conto del caso di cambiare un $a_i$ da $-1$ a $1$, dal momento che $1$ era il suo valore iniziale e quindi rende inutile la sua variazione da $-1$ ad $1$) supponendo che nel momento si ha che $M$ è pari (E' un'induzione mascherata). Adesso :
1) se $a_{i-1} = a_{i+1} = -1$ si ha che $M$ aumenta di $2$.
2) se $a_{i-1} = -1$ e $a_{i+1} = 1$ (e sym) si ha che $M$ non varia.
3) se $a_{i-1} = a_{i+1} = 1$ si ha che $M$ diminuisce di $2$.

In tutti e 3 (4) i casi $M$ non varia la sua parità e quindi poichè si parte dalla $n-$upla di $(1,1,\cdots,1)$ il numero $M$ sarà sempre pari, da cui la tesi.