paradosso ?

[maurizio43]

( RI-EDITATO 2 volte LA PARTE FINALE DEL TESTO PER MAGGIOR CHIAREZZA )

Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
Perché un punto $ P $ scelto a caso sulla crf. cada tra $ A $ e $ B $ occorre che :
1) $ P $ cada nella semicirconferenza $ BAD $ e non nell' altra semicirconferenza $ BCD $ ; [il che accade con probabilità 50%]
2) $ P $ cada nella semicirconferenza $ ABC $ e non nell' altra semicirconferenza $ ADC $ ; [il che accade pure con probabilità 50%]
Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .
Analogamente perché il punto cada tra $ C $ e $ D $ la probabilità è pure pari a $ \dfrac {25}{100} $ .
Ne consegue che la probabilità che $ P $ cada all’ interno di uno di quei $2$ archi è $\frac{25}{100}+ \frac{25}{100} = \dfrac{50}{100} $ .

Però è già stato giustamente da altre parti dimostrato che il valore giusto è diverso .
Quale è il motivo dell' errore ?
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[Ripropongo questo erroneo paradosso (non difficile da individuare), per eventuali neofiti/inesperti.]

[maurizio43]

Cos'è questo silenzio ?
Di solito quando c'è un errore tutti si precipitano (lodevolmente) a indicarlo !
(A volte ho avuto la tentazione, nei miei post, di introdurre un errorino per stimolare le risposte... )
Forse l'errore è fin troppo banale ?

[BorisM]

Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
Perché un punto $ P $ scelto a caso sulla crf. cada tra $ A $ e $ B $ occorre che :
1) $ P $ cada nella semicirconferenza $ BAD $ e non nell' altra semicirconferenza $ BCD $ ; [il che accade con probabilità 50%]
2) $ P $ cada nella semicirconferenza $ ABC $ e non nell' altra semicirconferenza $ ADC $ ; [il che accade pure con probabilità 50%]
Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .
Analogamente perché il punto cada tra $ C $ e $ D $ la probabilità è pure pari a $ \dfrac {25}{100} $ .
Ne consegue che la probabilità che $ P $ cada all’ interno di uno di quei $2$ archi è $\frac{25}{100}+ \frac{25}{100} = \dfrac{50}{100} $ .

Però è già stato giustamente da altre parti dimostrato che quest’ultimo evento ha probabilità = $ \dfrac{1}{4} $ .

Quale è il motivo della differenza ?
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[Ripropongo questo erroneo paradosso (non difficile da individuare), per eventuali neofiti/inesperti.]

Forse sbaglio ma l' errore è che non devi sommare la probabilità che il punto cada nell' arco tra $C$ e $D$ quindi la probabilità restA $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
Giusto?

[maurizio43]

Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
..........ecc.

Forse sbaglio ma l' errore è che non devi sommare la probabilità che il punto cada nell' arco tra $C$ e $D$ quindi la probabilità restA $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
Giusto?

Ti ringrazio comunque per la risposta .
Ho rieditato il testo per rendere più chiaro l' evento di cui si vuole esprimere la probabilità.
E' vero che non sommando la seconda probabilità il risultato darebbe proprio $1/4$ . Ma la faccenda è un po' più "filosofica"... e quella (pura) coincidenza numerica non eliminerebbe l' errore concettuale che cerchiamo.
[ Insisti nella ricerca : è un "Uovo di Colombo" un po' mascherato ].

[matpro98]

Ma se A e B sono scelti a caso, la probabilità che P sia interno all'arco AB non cambia a seconda della distanza tra i due punti?

[maurizio43]

Ma se A e B sono scelti a caso, la probabilità che P sia interno all'arco AB non cambia a seconda della distanza tra i due punti?

Bravo, la prima obiezione che salta all'occhio è proprio questa : la probabilità non può non dipendere dalla distanza dei due punti !
E il valore $ 50$% è il risultato di un ragionamento sbagliato .
Ma che cosa c'è di errato nel metodo di calcolo che porta erroneamente a quel valore di probabilità ?

[matpro98]

Se disponiamo i diametri AC e CD in modo da farli essere perpendicolari, allora il conto è giusto: la probabilità è di 1/4 per ogni arco, e quindi quella cercata è 1/2... o mi sbaglio?

[maurizio43]

Se disponiamo i diametri AC e CD in modo da farli essere perpendicolari, allora il conto è giusto: la probabilità è di 1/4 per ogni arco, e quindi quella cercata è 1/2... o mi sbaglio?

Ti ringrazio per la risposta, che è giusta nel caso particolare che hai considerato (credo che tu intendessi AC e BD) .

La curiosità del quesito era , comunque, il perchè, nel caso generale, portasse a conclusioni errate il metodo usato di moltiplicare le probabilità che P cadesse a destra di A e che P cadesse a sinistra di B .....

[fedefritz]

Risposta così ad intuito senza nessuna formalizzazione a supporto: mi viene da dire che la probabilità così calcolata è relativa a due eventi disgiunti e non collegati tra loro. E' l'equivalente di calcolare la probabilità che in due lanci di una moneta esca entrambe le volte testa. Infatti 1/2 probabilità che la prima volta il punto cada nella semicirconferenza ABC e poi 1/2 probabilità che un secondo punto cada nell'altra semicirconferenza.
E quindi non c'è nessun collegamento al segmento AB e alla sua ampiezza.

[Sirio]

Forse è uno spoiler o forse è un errore clamoroso quindi lo nascondo

Testo nascosto:

Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .

Secondo me questo passaggio non lo si può fare, perché la probabilità che appartenga all'arco $AB$ (quello che non comprende $C$ e $D$) è $\frac{lunghezza dell'arco AB}{lunghezza dell'arco AC}\cdot$probabilità che appartenga all'arco $AC$.
Poi che la probabilità che appartenga all'arco $AC$ sia $\frac{1}{2}$ penso sia ovvio, ma non conoscendo il rapporto per il quale va moltiplicato direi che non possiamo determinare quell'$\frac{1}{4}$ che avevi trovato.
Alla fine, se ho fatto giusto, $P=2\cdot\frac{lunghezza dell'arco AB}{lunghezza dell'arco AC}\cdot\frac{1}{2}=\frac{lunghezza dell'arco AB}{lunghezza dell'arco AC}$, che non è detto che venga $\frac{1}{2}$

[AleBoschi03]

Dopo averci ragionato un pochino, secondo me l'errore nel ragionamento sta complessivamente nel considerare indipendenti le due probabilità. Quando si sceglie un punto P casualmente sulla circonferenza, la sua posizione dipende sia dalla prima scelta (la semicirconferenza tra A e B) sia dalla seconda scelta (la semicirconferenza tra C e D).
In particolare, se il punto P cade nella semicirconferenza BAD, allora deve anche cadere nella semicirconferenza ABC perché entrambi i punti A e B appartengono alla stessa semicirconferenza. Allo stesso modo, se il punto P cade nella semicirconferenza BCD, allora deve anche cadere nella semicirconferenza ADC.
Quindi, le due scelte non sono indipendenti, ma correlate. La probabilità complessiva che un punto P cada all'interno di uno dei due archi è dunque diversa da quella calcolata nel ragionamento precedente.
Per calcolare correttamente la probabilità complessiva, si dovrebbe considerare la probabilità che P cada all'interno di uno dei due archi come l'unione delle probabilità che P cada nella semicirconferenza BAD o nella semicirconferenza BCD, cioè:


P(BAD∪BCD)=P(BAD)+P(BCD)−P(BAD∩BCD)

dove P(BAD∩BCD) è la probabilità che P cada sia nella semicirconferenza BAD che nella semicirconferenza BCD, cioè zero, poiché non c'è sovrapposizione tra le due semicirconferenze. Quindi la probabilità complessiva è:

P(BAD∪BCD)=P(BAD)+P(BCD)

e poiché BAD e BCD sono simmetrici rispetto alla circonferenza, entrambi hanno probabilità 1/2 quindi:
1/2 + 1/2 = 1
quindi P(BAD∪BCD)= 1

Quindi la probabilità che P cada all'interno di uno dei due archi è effettivamente 1, non 0.5 come erroneamente calcolato nel ragionamento precedente.
In sintesi ho praticamente detto per cercare di essere compreso al meglio:
Il metodo di calcolo, effettivo, che porta erroneamente al valore del 50% di probabilità deriva dall'assunzione sbagliata che le probabilità di ciascun evento siano indipendenti l'una dall'altra. Questo approccio sarebbe valido se la posizione di P fosse determinata indipendentemente dalle posizioni di A e B.
Poiché la posizione di P dipende sia dalla posizione di A che da quella di B, queste due posizioni sono correlate. Quando si sceglie casualmente un punto P su una circonferenza, si devono considerare le posizioni relative di A e B, il che rende le due probabilità correlate.
Nel caso, però, specifico del metodo erroneo di moltiplicare le probabilità che P cada a destra di A e a sinistra di B come ho visto scritto, porterebbe ad un errore perché non tiene conto delle correlazioni tra le posizioni di A e B e la posizione di P. Questo approccio potrebbe funzionare solo se le posizioni di A e B fossero scelte indipendentemente l'una dall'altra, ma in questo caso, non lo sono.
Quindi, l'errore nel metodo di calcolo risiede nell'assunzione di indipendenza tra le posizioni di A, B e P sulla circonferenza. Invece, è necessario considerare la correlazione tra le posizioni di A, B e P per ottenere una stima accurata della probabilità che P cada tra A e B.