Da \"Facile come pi greco?\"

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Problema carino, ha almeno una bella soluzione.
 
 Dimostrare che se in un quadrilatero la congiungente i punti medi di due lati opposti è uguale alla semisomma degli altri due, allora il quadrilatero è un trapezio. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-04-21 20:44 ]

Gauss · Messaggio da **Gauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ehehe, allora non sono l\'unico ad aver comprato quel libro <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_smile.gif">
 
 [Qualche capitolo è a dir poco allucinante]

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Non è elegante, però funzia...
 Dilatando e ruotando il nostro quadrilatero
 possiamo, senza perdere in generalità, far
 cadere i suoi vertici in:
 
 (0;0)
 (1;0)
 (x[1];y[1])
 (x[2];y[2])
 
 ora poniamo x[2]-x[1]=w ; y[2]-y[1]=z
 dobbiamo avere
 
 sqrt(w^2+z^2) + 1 = sqrt((w+1)^2 + z^2)
 
 elevando al quadrato e semplificando
 
 sqrt(w^2 + z^2) = w
 
 dunque z=0 :il nostro quadrilatero è un trapezio.

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Sia ABCD il quadrilatero e siano M ed N i punti medi di BC e AD rispettivamente. Dal fatto che AB+CD=2MN bisogna provare che AB//CD.
 
 Si ruota MCDN di 180° intorno ad M in modo da mandare C in B D ed N in D\' ed N\'.
 Essendo AN=ND=N\'D\' e ND//N\'D\', il quadrilatero AD\'N\'N e\' un parallelogramma.
 Percio\' AD\'=NN\'=2MN=AB+CD=AB+BD\'. Quindi B appartiene ad AD\' da questo segue che AB//NM e anche BD\'//NM cioe\' CD//NM in definitiva AB//DC

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ottimo, ottimo...
 E dire che la dimostrazione a cui mi riferivo è un\'altra!
 Utilizza i vettori: se avete ancora voglia di trovarla...

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Sempre con le lettere che ho utilizzato nel precedente messaggio e indicando con (Y-X) il vettore di modulo |XY| e verso da X verso Y, si ha che (M-N)=(M-C)+(C-D)+(D-N) e (M-N)=(M-B)+(B-A)+(A-N).
 
 Sommando queste due e tenendo conto che (M-C)+(M-B)=0=(D-N)+(A-N), si ha che 2(M-N)=(C-D)+(B-A).
 
 Dato che per ipotesi 2|MN|=|CD|+|BA| i vettori (M-N), (C-D) e (B-A) devono essere paralleli.
 
 E\' questa quella che dicevi?

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

E siamo a tre!
 La tua dimostrazione è sostanzialmete simile alla mia, anche se la complessità di notazione non rende giustizia alla sua eleganza.
 La proprietà sfruttata è molto semplice: se il modulo somma è uguale alla somma dei moduli allora i vettori sono paralleli
 Complimenti e ciao

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

In ossequio ad un arcinoto proverbio che recita non c\'e\' tre senza quattro, eccone un\'altra.
 
 Sia D’ il quarto vertice del parallelogramma costruito su ND e DC, sia A’ il quarto vertice del parallelogramma costruito su NA e AB. I triangoli MD’C e MA’B sono uguali avendo due lati e l’angolo compreso uguali. Sia N’ su NM dalla parte di M tale che MN=MN’. I triangoli MA’N’ e MD’N sono uguali. Dato che, per la disuguaglianza triangolare, NA’+A’N’>=NN’ [in cui l\'uguaglianza vale sse N, A\' ed N\' sono allineati] per le ipotesi date A’ ( cosi come D’ )deve stare su NM. Cioe’ AB e DC sono parallele.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-04-23 08:55 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-04-23 08:57 ]