Problema

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Questo è un problema tratto dagli esami d\'ammissione alla normale, precisamente è il secondo del 1909 (un po\' datato ma va bhè...):
 Dimostrare che se a_1, a_2, ...,a_n sono n numeri diversi da zero, fra i quali sussiste la relazione
 ((a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_(n-1))^2)*((a_2)^2+(a_3)^2+...+(a_n)^2)=(a_1*a_2+a_2*a_3+...+a_(n-1)*a_n)^2 ,
 i numeri stessi stanno in progressione geometrica.
 Non mi interessa la soluzione che da il libro, quella la so leggere anch\'io! Ne sto cercando un\'altra perché l\'unica cosa che mi viene in mente leggendo quella data dal curatore è che non mi sarebbe venuto in mente neanche in un migliaio di anni, quindi qualcuno mi aiuti indicandomene un\'altra o almeno un ragionamento per arrivare a quella ufficiale...
 Io sto provando per induzione, e per n=3 la cosa è semplice, però non riesco a passare da n a n+1... a dirla tutta c\'è ancora un possibilità con una serie di calcoli infinita che devo provare ma non ho voglia... in bocca al lupo a tutti coloro che ci proveranno

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Ormai ci ho preso gusto con i problemi d\'ammissione alla normale... eccone uno che mi è piaciuto moltissimo, il terzo del 1999:
 Stefano lancia n+1 monete, e tra queste ne sceglie n in modo da massimizzare il numero di teste. Barbara lancia n monete. Chi ottiene un maggior numero di teste vince, e in caso di parità, si assegna la vittoria a Barbara. Qual\'è (SCRITTO CON L\'APOSTROFO NEL TESTO!!! VA BHE\' CHE INSEGNATE MATEMATICA PERO\'...) la probabilità di vittoria di Stefano?
 Sono convinto al 90% di averlo risolto... non credo esistano soluzioni ufficiali da qualche parte quindi aspetto vostre risposte!

miccia · Messaggio da **miccia** » 01 gen 1970, 01:33

mi vorrei avventare sul primo problema, che mi sembra facil8 (lo dico soprattutto affinchè voi ammiriate la mia bravura nell\'abbreviare \"facilotto\")
 
 prendiamo la serie di numeri
 
 b1=a1,b2=a2...b[n-1]=a[n-1]
 c1=a2,c2=a3...c[n-1]=an
 
 e scrivendo la celebre uguaglianza di Lagrange otteniamo
 
 ck bi = bk ci per ogni k, i
 
 ossia
 
 a[k+1] a = a[k] a[i+1] per ogni k,i
 
 e segue banalmente la tesi.
 (speriamo che la mia dimostraz non sia uguale al libro)
 
 Per chi conoscesse più di una disuguaglianza di lagrange, ecco quale intendo io:
 
 (sum((b_i)^2))(sum((c_i)^2) - (sum((b_i)(c_i)))^2=
 =sum[j,k](b_k*c_j - b_j*c_k)^2
 
 Ciao!
 Mircea
 
 [addsig]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho guardato la tua soluzione attentamente, ma è diversa da quella del libro, che usa solo concetti elementari, però visto che è stata data almeno una risposta a uno dei problemi ne propongo un altro:
 Siano p,q,r numeri reali. Si sa che le tre radici dell\'equazione
 x^3-px^2+qx+r=0
 sono strettamente positive. Quale condizione su p,q e r garantisce l\'esistenza di un triangolo avente i lati di lunghezza pari alle tre radici?
 Io mi sono abb incartato... per che ne volesse un paio più semplici (almeno secondo me) eccone:
 Siano a,b,c numeri razionali tali che
 a^3+2b^3+4c^3=8abc
 si mostri che a=b=c=0
 
 Sia n>=1 un intero. Diciamo che un quadrato è n-divisibile se è possibile piastrellarlo con n quadrati, non necessariamente delle stesse dimensioni. Per quali interi n>=1 il quadrato è n-divisibile?
 Buon lavoro.

Deca · Messaggio da **Deca** » 01 gen 1970, 01:33

\"facil8\" eh...?? io sn innamorato di \"3no\" (treno) e un po\' tutte quelle parole che si accorciano sul cel per risparmiare quel sms in + che renderebbe tutta la comunicazione più facile....
 
 ah... braccino corto!
 
 yup! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> sono tornato dalle ferieee...

ReKaio · Messaggio da **ReKaio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Siano p,q,r numeri reali. Si sa che le tre radici dell\'equazione
 x^3-px^2+qx+r=0
 sono strettamente positive. Quale condizione su p,q e r garantisce l\'esistenza di un triangolo avente i lati di lunghezza pari alle tre radici?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 dopo tanta fatica era un peccato non scrivelo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 
 a,b,c le radici duell\'eq, allora
 p=a+b+c
 q=ab+bc+ac
 r=-abc
 
 diseguaglianza triangolare
 (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)>0
 -(a³+b³+c³)+ac²+a²b+bc²+ab²+a²c+b²c-2abc>0
 
 simmetrica quindi lo fattorizzo coi polinomi simmetrici elementari, a+b+c, ab+ba+ac, abc, diventa, a scanso di errori di calcolo
 
 -(a+b+c)³+4(a+b+c)(ab+bc+ab)-8abc>0
 
 quindi
 
 p³+4pq+8r>0
 r>0
 
 che è la condizione sotto cui a,b,c sono lati di un triangolo
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 13-08-2003 22:02 ] [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 14-08-2003 14:07 ]

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

bei tempi il 1909... ormai la disuguaglianza di Cauchy la insegnano alle medie...
 
 (puoi usare una disuguaglianza di Lagrange per dimostrare la disuguaglianza di Cauchy?)

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-08-13 20:15, miccia wrote:
 Per chi conoscesse più di una disuguaglianza di lagrange, ecco quale intendo io:
 (sum((b_i)^2))(sum((c_i)^2) - (sum((b_i)(c_i)))^2=
 =sum[j,k](b_k*c_j - b_j*c_k)^2
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 ...La prima disuguaglianza della storia che non contiene un simbolo di disuguaglianza! WOW!!

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Sia n>=1 un intero. Diciamo che un quadrato è n-divisibile se è possibile piastrellarlo con n quadrati, non necessariamente delle stesse dimensioni. Per quali interi n>=1 il quadrato è n-divisibile?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Per n=2 no. Ogni angolo deve essere coperto da un quadrato più piccolo, ma ci sono 4 angoli e due quadrati, e ciascun quadrato non può coprire più di un angolo, a meno che non sia grande quanto il quadratone, ma allora non rimarrebbe più spazio per l\'altro.
 
 Per n=3 no, per lo stesso motivo.
 
 Per n=5 nemmeno. Ci dev\'essere un quadrato in ogni angolo, più uno \"libero\". Almeno uno dei quadrati angolari, diciamo quello in basso a destra, deve avere area < 1/4, altrimenti non rimarrebbe posto per quello libero. Chiamiamo ABCD questo quadrato, ABCD in senso antiorario con B in basso a destra. Il quadrato libero non può coprire contemporaneamente i punti vicini ad A e quelli vicini a C senza intersecare ABCD, perciò almeno uno dei quadrati angolari vicini ad ABCD deve avere area > 1/4. Poniamo che sia quello in alto a destra. Allora i due quadrati angolari di sinistra non possono avere area > di quella di ABCD. Chiamiamo P il vertice in basso a destra del quadrato in alto a sinistra. Allora né i punti appena sotto P né quelli appena alla sinistra di D sono coperti, perciò deve essere il quadrato libero a coprirli, ma non può farlo senza intersecare quello in alto a sinistra.
 
 Se lo è per m, allora lo è per m+3k. Basta dividere in 4 uno degli m quadratini, e ripetere l\'operazione altre k-1 volte.
 
 Per 1 sì.
 
 Per 6 sì. Dividiamo il quadrato in 9 quadratini uguali e raggruppiamone 4 in un 2x2.
 
 Per 8 sì. Dividiamo il quadrato in 16 quadratini uguali e raggruppiamone 9 in un 3x3.
 
 Risultato: sì per tutti gli n tranne 2, 3 e 5.

miccia · Messaggio da **miccia** » 01 gen 1970, 01:33

ok era l\'(senza dis)uguaglianza di Lagrange (che pignoli!!)
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> (w le faccette!!)

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa miccia, in circostanze normali non l\'avrei fatto, ma quel giorno ero un po\' imbufalito con il resto del mondo, e dovevo prendermela con qualcuno. Succede...